Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em :
b) ;
Passo 1
O enunciado nos dá em o produto bilinear
e pede para verificar se isso é um produto interno, isto é, se a forma é bilinear, simétrica e definida positiva.
Passo 2
Verificamos a simetria trocando e :
Logo a forma é simétrica. A bilinearidade é óbvia pela soma de termos do tipo .
Passo 3
Escrevemos com a matriz simétrica
Para ser produto interno, A deve ser definida positiva. Usamos os menores principais:
- det([2])=2>0,
- detl(2&11&2r)=3>0,
- det(A)=2cdot3cdot2=12>0.
Todos os menores principais são positivos, logo A é definida positiva e
x^T A x = 2(x1^2+x1x2+x2^2+x3^2)>0para todo xneq0
Passo 4
Concluímos que a forma é bilinear, simétrica e definida positiva, portanto ela define um produto interno em R^3.
Resposta
Sim, esse produto define um produto interno em R^3.