Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^3 :
b) lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==2 x1 y1+x2 y1+x1 y2+2 x2 y2+2 x3 y3;

Passo 1

O enunciado nos dá em R^3 o produto bilinear
lang<= (x1,x2,x3),(y1,y2,y3)rang<==2x1y1+x2y1+x1y2+2x2y2+2x3y3
e pede para verificar se isso é um produto interno, isto é, se a forma é bilinear, simétrica e definida positiva.

Passo 2

Verificamos a simetria trocando x e y:
lang<= y,xrang<= =2y1x1+y2x1+y1x2+2y2x2+2y3x3 =2x1y1+x1y2+x2y1+2x2y2+2x3y3 =lang<= x,yrang<=
Logo a forma é simétrica. A bilinearidade é óbvia pela soma de termos do tipo a,xi yj.

Passo 3

Escrevemos lang<= x,yrang<= = x^T A y com a matriz simétrica
A= 2 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Para ser produto interno, A deve ser definida positiva. Usamos os menores principais:
- det([2])=2>0,
- detl(2&11&2r)=3>0,
- det(A)=2cdot3cdot2=12>0.
Todos os menores principais são positivos, logo A é definida positiva e
x^T A x = 2(x1^2+x1x2+x2^2+x3^2)>0para todo xneq0

Passo 4

Concluímos que a forma é bilinear, simétrica e definida positiva, portanto ela define um produto interno em R^3.

Resposta

Sim, esse produto define um produto interno em R^3.

Exercícios relacionados