Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^2 :
f) lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x2 y1 y2+x1 y2.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x2,y1,y2 + x1,y2
em R^2 e pede para verificar se ela satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. bilinearidade em cada argumento,
  2. simetria ( lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<=),
  3. definitude positiva ( lang<= x,xrang<=>= 0 com igualdade só para x=0).

Passo 2

Basta checar a simetria e encontrar um contraexemplo. Seja
x=(1,0), y=(0,1)
Então
lang<= x,yrang<= = x2,y1,y2 + x1,y2 = 0cdot0cdot1 + 1cdot1 = 1,
enquanto
lang<= y,xrang<= = y2,x1,x2 + y1,x2 = 1cdot1cdot0 + 0cdot0 = 0
Como lang<= x,yrang<= neq lang<= y,xrang<=, falha a simetria e, portanto, não é produto interno.

Resposta

A aplicação lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x2,y1,y2 + x1,y2 não define um produto interno em R^2.

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