O enunciado dá a função f\) definida por
\[f(x)= \begin{cases}x \cos \left(\dfrac{2}{x}\right)-1, & \text{se } x>0, \\[6pt] \dfrac{-2(1-\cos x)}{x\,\operatorname{sen}(x)}, & \text{se } x<0, \\[6pt] -1, & \text{se } x=0.\end{cases}
As perguntas são:
Calcular \lim_{x\to 0^{+}} f(x)\] e \(\lim_{x\to 0^{-}} f(x).
Determinar se f é contínua em x=0 e justificar.]
Passo 2
Vamos calcular \lim_{x\to 0^{+}} f(x). Para x>0 temos
f(x)=x\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)-1.
Observe que \cos é limitada: -1\le \cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\le 1. Multiplicando por x>0 obtemos
- x \le x\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\le x.
Esse é o momento de usar o Teorema do Confronto (squeeze): se uma função fica entre -x e x e ambos tendem a 0 quando x\to0^{+}, então a função também tende a 0. Como
Agora calculamos \lim_{x\to 0^{-}} f(x). Para x<0 temos
f(x)=\dfrac{-2(1-\cos x)}{x\,\sin x}.
Primeiro transformamos a expressão usando identidades trigonométricas. Use 1-\cos x=2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e \sin x=2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Substituindo:
Continuamos a manipular para introduzir a forma \dfrac{\sin t}{t}, cuja propriedade central usaremos: \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Reescrevendo
Aqui usamos que \dfrac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}} é a forma padrão do limite conhecido e que \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) é contínua em 0.
Passo 5
Aplicamos os limites: quando x\to 0^{-} (ou x\to 0 em geral), temos \dfrac{x}{2}\to 0, logo
Como ambos os limites laterais existem e são iguais, o limite \lim_{x\to 0} f(x) existe e vale -1. O enunciado também fornece f(0)=-1. Pela definição de continuidade (uma função é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a)), temos que f é contínua em x=0.
Resposta
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=-1 \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1
Sim, f é contínua em x=0.