QUESTÃO 02 : Considere a função f\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x \cos \left(\frac{2}{x}\right)-1, & \text { se } x>0 \\\ \frac{-2(1-\cos x)}{x \operatorname{sen}(x)}, & \text { se } x<0 \\\\ -1, & \text { se } x=0\end{cases}
i) Avalie \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)\] e \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x).
ii) f é contínua em x=0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função f\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x \cos \left(\dfrac{2}{x}\right)-1, & \text{se } x>0, \\[6pt] \dfrac{-2(1-\cos x)}{x\,\operatorname{sen}(x)}, & \text{se } x<0, \\[6pt] -1, & \text{se } x=0.\end{cases}
As perguntas são:
  1. Calcular \lim_{x\to 0^{+}} f(x)\] e \(\lim_{x\to 0^{-}} f(x).
  2. Determinar se f é contínua em x=0 e justificar.]

Passo 2

Vamos calcular \lim_{x\to 0^{+}} f(x). Para x>0 temos
f(x)=x\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)-1.
Observe que \cos é limitada: -1\le \cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\le 1. Multiplicando por x>0 obtemos
- x \le x\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\le x.
Esse é o momento de usar o Teorema do Confronto (squeeze): se uma função fica entre -x e x e ambos tendem a 0 quando x\to0^{+}, então a função também tende a 0. Como
\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0,\qquad \lim_{x\to 0^{+}} x=0,
segue que
\lim_{x\to 0^{+}} x\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)=0.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\biggl(x\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)-1\biggr)=0-1=-1.

Passo 3

Agora calculamos \lim_{x\to 0^{-}} f(x). Para x<0 temos
f(x)=\dfrac{-2(1-\cos x)}{x\,\sin x}.
Primeiro transformamos a expressão usando identidades trigonométricas. Use 1-\cos x=2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e \sin x=2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Substituindo:
f(x)=\dfrac{-2\cdot 2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x\cdot 2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)} =\dfrac{-4\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2x\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
Simplificando um fator \sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e o 2:
f(x)=\dfrac{-2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.

Passo 4

Continuamos a manipular para introduzir a forma \dfrac{\sin t}{t}, cuja propriedade central usaremos: \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Reescrevendo
f(x)=-2\cdot \dfrac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)} = -2\cdot \dfrac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\cdot \dfrac{1}{2\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
Agrupando os fatores:
f(x) = -\left(\dfrac{1}{\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}\right)\cdot \dfrac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}.
Aqui usamos que \dfrac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}} é a forma padrão do limite conhecido e que \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) é contínua em 0.

Passo 5

Aplicamos os limites: quando x\to 0^{-} (ou x\to 0 em geral), temos \dfrac{x}{2}\to 0, logo
\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}=1
(pois \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1) e
\lim_{x\to 0^{-}}\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=\cos 0=1.
Portanto
\lim_{x\to 0^{-}} f(x) = -\dfrac{1}{1}\cdot 1 = -1.

Passo 6

Com os dois limites laterais calculados, concluímos:
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=-1,\qquad \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1.
Como ambos os limites laterais existem e são iguais, o limite \lim_{x\to 0} f(x) existe e vale -1. O enunciado também fornece f(0)=-1. Pela definição de continuidade (uma função é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a)), temos que f é contínua em x=0.

Resposta

\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=-1
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1
Sim, f é contínua em x=0.

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