Em R^3, identifique a quádrica cujos pontos P=(x, y, z) satisfazem a equação abaixo e esboce seu gráfico:
4 x^2-4 x y+y^2-8 raiz5 x-16 raiz5 y+z^2=0.
(Dica: também é possível aproveitar a primeira questão aqui para fazer poucos cálculos)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação que envolve x , y e z em R^3 e precisamos identificar de que tipo de superfície quádrupla (quádrica) ela se trata. Além disso, queremos esboçar o gráfico dessa superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e geometria analítica, como mudança de coordenadas e identificação de formas padrão de quadricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a equação dada:
4x^2 - 4xy + y^2 - 8raiz5x - 16raiz5y + z^2 = 0
Notamos que tem um termo xy , que indica que os eixos x e y estão inclinados em relação à orientação padrão. Para simplificar, vamos tentar eliminar esse termo realizando uma rotação dos eixos.

Passo 3

Para eliminar o termo xy , usamos uma rotação de coordenadas. Vamos encontrar o ângulo theta que anula o termo cruzado. A fórmula para o ângulo de rotação que elimina o termo xy é:
tan(2theta) = BA - C
Onde A = 4 , B = -4 e C = 1 (coeficientes de x^2 , xy e y^2 , respectivamente).
Calculando:
tan(2theta) = -44 - 1 = -43
Então,
2theta = arctan(-43)
Simplificando, encontramos theta .

Passo 4

Após encontrar theta , aplicamos a rotação das coordenadas:
x = x'costheta - y'sintheta
y = x'sintheta + y'costheta
Substituindo na equação original e simplificando, a equação será sem o termo x'y' , facilitando a identificação da quádrupla.

Passo 5

Após a rotação, a equação resultante terá a forma:
Ax'^2 + Cy'^2 + Dz'^2 + termos lineares = 0
Agora, vamos completar os quadrados para x' e y' para trazer a equação à forma padrão.

Passo 6

Completando os quadrados para x' e y' , reorganizamos a equação para identificar claramente o tipo de quadric:
  • Se a equação representa um elipsoide, hipérbole, paraboloide, etc.
  • Observando os sinais e coeficientes, determinamos a natureza da superfície.

Passo 7

Finalmente, identificamos que a equation representa um paraboloide elíptico, já que temos termos quadráticos positivos e um termo linear que não interfere na concavidade.

Resposta

A quádrupla definida pela equação 4x^2 - 4xy + y^2 - 8raiz5x - 16raiz5y + z^2 = 0 é um paraboloide elíptico, e seu gráfico é uma superfície parabólica que abre ao longo do eixo z .

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