Em
, identifique a quádrica cujos pontos
satisfazem a equação abaixo e esboce seu gráfico:
.
(Dica: também é possível aproveitar a primeira questão aqui para fazer poucos cálculos)
(Dica: também é possível aproveitar a primeira questão aqui para fazer poucos cálculos)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação que envolve
,
e
em
e precisamos identificar de que tipo de superfície quádrupla (quádrica) ela se trata. Além disso, queremos esboçar o gráfico dessa superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e geometria analítica, como mudança de coordenadas e identificação de formas padrão de quadricas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a equação dada:
Notamos que tem um termo
, que indica que os eixos
e
estão inclinados em relação à orientação padrão. Para simplificar, vamos tentar eliminar esse termo realizando uma rotação dos eixos.
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos uma rotação de coordenadas. Vamos encontrar o ângulo
que anula o termo cruzado. A fórmula para o ângulo de rotação que elimina o termo
é:
Onde
,
e
(coeficientes de
,
e
, respectivamente).
Calculando:
Então,
Simplificando, encontramos
.
Passo 4
Após encontrar
, aplicamos a rotação das coordenadas:
Substituindo na equação original e simplificando, a equação será sem o termo
, facilitando a identificação da quádrupla.
Passo 5
Após a rotação, a equação resultante terá a forma:
Agora, vamos completar os quadrados para
e
para trazer a equação à forma padrão.
Passo 6
Completando os quadrados para
e
, reorganizamos a equação para identificar claramente o tipo de quadric:
- Se a equação representa um elipsoide, hipérbole, paraboloide, etc.
- Observando os sinais e coeficientes, determinamos a natureza da superfície.
Passo 7
Finalmente, identificamos que a equation representa um paraboloide elíptico, já que temos termos quadráticos positivos e um termo linear que não interfere na concavidade.
Resposta
A quádrupla definida pela equação
é um paraboloide elíptico, e seu gráfico é uma superfície parabólica que abre ao longo do eixo
.