Seja definida por e . Determine uma base para o e .
Passo 1
O enunciado define via as imagens dos vetores da base canônica:
Queremos encontrar uma base do núcleo e do espaço imagem . Vamos usar representação matricial e resolver o sistema homogêneo para , e analisar as colunas para .
Passo 2
Como usamos a base canônica, a matriz de é dada pelas colunas . Assim,
Passo 3
Para achar ker(T), resolvemos A(x,y,z)^T=0. O sistema é
x + y = 0, x + y = 0, 2y + 2z = 0
Passo 4
Das duas primeiras equações temos x+y=0implies x=-y. Da terceira, 2y+2z=0implies y+z=0implies z=-y. Logo
(x,y,z) = (-y,y,-y) = y,(-1,1,-1)
Portanto ker(T) é um subespaço de dimensão 1 com base
,(-1,1,-1)
Passo 5
Para Im(T) observamos as colunas de A:
c1=(1,1,0), c2=(1,1,2), c3=(0,0,2)
Note que c2 = c1 + c3. Assim basta c1 e c3 para gerar todas as colunas, e são linearmente independentes. Logo
Im(T)=span(1,1,0),(0,0,2)
Resposta
Base de ker(T): ,(-1,1,-1)
Base de Im(T): (1,1,0),(0,0,2)