Seja T: R^3 R^3 definida por T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,1,2) e T(0,0,1)=(0,0,2). Determine uma base para o N u c(T) e Im(T).

Passo 1

O enunciado define T:R^3toR^3 via as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,1,2), T(0,0,1)=(0,0,2)
Queremos encontrar uma base do núcleo ker(T) e do espaço imagem Im(T). Vamos usar representação matricial e resolver o sistema homogêneo para ker(T), e analisar as colunas para Im(T).

Passo 2

Como usamos a base canônica, a matriz de T é dada pelas colunas T(e1),T(e2),T(e3). Assim,
A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 2 & 2

Passo 3

Para achar ker(T), resolvemos A(x,y,z)^T=0. O sistema é
x + y = 0, x + y = 0, 2y + 2z = 0

Passo 4

Das duas primeiras equações temos x+y=0implies x=-y. Da terceira, 2y+2z=0implies y+z=0implies z=-y. Logo
(x,y,z) = (-y,y,-y) = y,(-1,1,-1)
Portanto ker(T) é um subespaço de dimensão 1 com base
,(-1,1,-1)

Passo 5

Para Im(T) observamos as colunas de A:
c1=(1,1,0), c2=(1,1,2), c3=(0,0,2)
Note que c2 = c1 + c3. Assim basta c1 e c3 para gerar todas as colunas, e são linearmente independentes. Logo
Im(T)=span(1,1,0),(0,0,2)

Resposta

Base de ker(T): ,(-1,1,-1)
Base de Im(T): (1,1,0),(0,0,2)

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