A quádrica de equação x y=1 (em coordenadas cartesianas) possuirá qual equação em coordenadas esféricas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da quádrecas x y = 1 no sistema de coordenadas cartesianas. Nosso objetivo aqui é transformar essa equação para o sistema de coordenadas esféricas. Pra isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para as esféricas (r, theta, phi).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cartesianas se relacionam com as esféricas. Nas coordenadas esféricas:
  • x = r cdot sin(theta) cdot cos(phi)
  • y = r cdot sin(theta) cdot sin(phi)
  • z = r cdot cos(theta)
Onde:
  • r é a distância do ponto até a origem,
  • theta é o ângulo polar (entre o positivo eixo z e o raio),
  • phi é o ângulo azimutal (entre o positivo eixo x e a projeção no plano xy).

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na equação original x y = 1 pelas suas expressões em coordenadas esféricas:
(r cdot sin(theta) cdot cos(phi)) cdot (r cdot sin(theta) cdot sin(phi)) = 1

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
r^2 cdot sin^2(theta) cdot cos(phi) cdot sin(phi) = 1
Essa é a equação da quádrecas x y = 1 em coordenadas esféricas.

Resposta

A equação da quádrica x y = 1 em coordenadas esféricas é:
r^2 cdot sin^2(theta) cdot cos(phi) cdot sin(phi) = 1

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