Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
j)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a tipo de superfície quádrupla (ou quádrica) dada pela equação
e fazer um esboço do seu gráfico. Nosso conteúdo aqui envolve geometria analítica, mais especificamente o estudo das superfícies quádruplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como reescrever a equação na forma padrão de uma das quádricas conhecidas e identificar suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a equação
de uma maneira que seja mais fácil de identificar o tipo de superfície. Vamos isolar o termo linear em
:
Agora, dividimos todos os termos por 7 para deixar
isolado:
Passo 3
Observando a forma
, percebemos que é uma equação de segundo grau em
e
, expressa como uma função de
. Isso indica que estamos lidando com um hiperbólico paraboloide.
Para entender melhor, sabemos que a equação geral de um hiperbolóide de uma folha é:
Já a paraboloide hiperbólico tem a forma:
No nosso caso, a equação se assemelha mais a um paraboloide hiperbólico porque temos uma combinação de termos quadráticos com sinais opostos em relação a
e
, e a variável
está isolada como função deles.
Passo 4
Agora, vamos pensar no esboço do gráfico. Um paraboloide hiperbólico parece uma sela de cavalo. Isso porque ao fixar
positivo ou negativo, as seções transversais são hipérboles abertas em direções opostas.
- Quando
, , o que significa que , resultando em hipérbolas abertas ao longo do eixo . - Quando
, , ou seja, , resultando em hipérbolas abertas ao longo do eixo .
Isso dá a ele aquela forma característica de sela, com curvas que se abrem em direções opostas dependendo do valor de
.
Resposta
A superfície quádrupla representada pela equação
é um paraboloide hiperbólico. O gráfico dessa quádrupla tem a forma de uma sela, exibindo curvas hiperbólicas que se abrem em direções opostas conforme o valor de
varia.