Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
j) 2 x^2-y^2-7 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a tipo de superfície quádrupla (ou quádrica) dada pela equação e fazer um esboço do seu gráfico. Nosso conteúdo aqui envolve geometria analítica, mais especificamente o estudo das superfícies quádruplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como reescrever a equação na forma padrão de uma das quádricas conhecidas e identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a equação 2x^2 - y^2 = 7z de uma maneira que seja mais fácil de identificar o tipo de superfície. Vamos isolar o termo linear em z = 27x^2 - 17y^2 :
Agora, dividimos todos os termos por 7 para deixar isolado:

Passo 3

Observando a forma x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1 , percebemos que é uma equação de segundo grau em z = y^2b^2 - x^2a^2 e , expressa como uma função de . Isso indica que estamos lidando com um hiperbólico paraboloide.
Para entender melhor, sabemos que a equação geral de um hiperbolóide de uma folha é:
Já a paraboloide hiperbólico tem a forma:
No nosso caso, a equação se assemelha mais a um paraboloide hiperbólico porque temos uma combinação de termos quadráticos com sinais opostos em relação a e , e a variável está isolada como função deles.

Passo 4

Agora, vamos pensar no esboço do gráfico. Um paraboloide hiperbólico parece uma sela de cavalo. Isso porque ao fixar positivo ou negativo, as seções transversais são hipérboles abertas em direções opostas.
  • Quando , , o que significa que , resultando em hipérbolas abertas ao longo do eixo .
  • Quando , , ou seja, , resultando em hipérbolas abertas ao longo do eixo .
Isso dá a ele aquela forma característica de sela, com curvas que se abrem em direções opostas dependendo do valor de .

Resposta

A superfície quádrupla representada pela equação é um paraboloide hiperbólico. O gráfico dessa quádrupla tem a forma de uma sela, exibindo curvas hiperbólicas que se abrem em direções opostas conforme o valor de varia.

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