Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
\exists x\left(A x^{\wedge} B x\right) \rightarrow\left(\exists x A x^{\wedge} \exists x B x\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula
\exists x\bigl(Ax\wedge Bx\bigr)\;\to\;\bigl(\exists x\,Ax\wedge \exists x\,Bx\bigr),
pertencente à lógica de predicados de primeiro ordem, envolvendo quantificador existencial e conectivos lógicos. Vamos mostrar que ela é válida por raciocínio por absurdo, ou seja, assumindo o antecedente e a negação do consequente e chegando a contradição.

Passo 2

Suponha como hipótese
1.\quad \exists x\,(Ax\wedge Bx).
Pelo esquema de eliminação do existencial, tome um novo símbolo de constante c (que não ocorre em nenhum outro lugar) de modo que
2.\quad A\text{(c)}\wedge B\text{(c)}.

Passo 3

Suponha também, para chegar a absurdo, a negação do consequente:
3.\quad \neg\bigl(\exists x\,Ax\wedge \exists x\,Bx\bigr).
Pela equivalência de De Morgan, isso é o mesmo que
4.\quad \neg\exists x\,Ax \;\lor\; \neg\exists x\,Bx.

Passo 4

Da conjunção em (2) obtemos
5.\quad A\text{(c)} \quad\text{e}\quad 6.\quad B\text{(c)}.
Em particular, de A\text{(c)} segue por introdução do existencial
7.\quad \exists x\,Ax,
e de B\text{(c)} segue
8.\quad \exists x\,Bx.
Agora, da disjunção em (4) temos dois casos:
Caso 1: \neg\exists x\,Ax. Mas isso contradiz (7).
Caso 2: \neg\exists x\,Bx. Mas isso contradiz (8).
Em ambos os ramos chega-se a contradição.

Passo 5

Como a suposição da negação do consequente (3) leva a contradição mantendo-se a hipótese (1), concluímos por absurdo que
\bigl(\exists x\,Ax\wedge \exists x\,Bx\bigr)
deve ser verdadeiro sempre que \exists x\,(Ax\wedge Bx) for verdadeiro. Ou seja, a implicação original é válida.

Resposta

A fórmula é válida.

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