Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula
pertencente à lógica de predicados de primeiro ordem, envolvendo quantificador existencial e conectivos lógicos. Vamos mostrar que ela é válida por raciocínio por absurdo, ou seja, assumindo o antecedente e a negação do consequente e chegando a contradição.
Passo 2
Suponha como hipótese
Pelo esquema de eliminação do existencial, tome um novo símbolo de constante
(que não ocorre em nenhum outro lugar) de modo que
Passo 3
Suponha também, para chegar a absurdo, a negação do consequente:
Pela equivalência de De Morgan, isso é o mesmo que
Passo 4
Da conjunção em (2) obtemos
Em particular, de
segue por introdução do existencial
e de
segue
Agora, da disjunção em (4) temos dois casos:
Caso 1:
. Mas isso contradiz (7).
Caso 2: . Mas isso contradiz (8).
Caso 2:
Em ambos os ramos chega-se a contradição.
Passo 5
Como a suposição da negação do consequente (3) leva a contradição mantendo-se a hipótese (1), concluímos por absurdo que
deve ser verdadeiro sempre que
for verdadeiro. Ou seja, a implicação original é válida.
Resposta
A fórmula é válida.