Identifique a região de R^2 onde as funções são diferenciáveis:
z=1raiz(x-1)^2+(y-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a região de R^2 onde
z = 1raiz(x-1)^2 + (y-1)^2
é diferenciável. Estamos estudando diferenciabilidade de funções de duas variáveis definidas por composição de operações elementares (potências, soma, raiz e recíproco).

Passo 2

Determinar o domínio de definição. O denominador não pode ser zero, ou seja,
raiz(x-1)^2 + (y-1)^2 neq 0
Isso equivale a
(x-1)^2 + (y-1)^2 > 0
Logo o domínio é
D = R^2 setminus (1,1)

Passo 3

Escrever z como composição de funções mais simples:
u(x,y) = (x-1)^2 + (y-1)^2, v(u) = raizu, w(v) = 1v
Cada etapa é diferenciável sempre que u>0 (pois polinômios, raiz quadrada em (0,infty) e recíproco em Rsetminus0 são diferenciáveis). Como em D temos u(x,y)>0, a composição inteira é diferenciável em todos os pontos de D.

Resposta

A função é diferenciável em
R^2 setminus (1,1)

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