Qual das séries abaixo é divergente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a série
é divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, mais especificamente, testes de convergência como o Teste da Comparação ou o Teste do Termo Geral. Precisamos entender como o comportamento dos termos da série se comporta quando n fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Para analisar a convergência ou divergência, é útil simplificar esse termo observando como ele se comporta quando n tende ao infinito.
Passo 3
Quando n fica muito grande, o termo
oscila entre -1 e 1, e
também faz o mesmo. Então, em termos de crescimento, eles têm uma influência bem menor comparados aos outros termos. Assim, podemos aproximar:
Passo 4
Agora, sabemos que a série
é uma série p, onde p = 2. Sabemos também que séries p convergem quando p > 1. Então, essa série comparativa converge.
Passo 5
Mas queremos saber sobre a série original. Como aproximamos que
, e a série comparativa converge, podemos usar o Teste da Comparação. Como os termos da nossa série original são menores ou iguais aos da série que converge, concluímos que nossa série também converge.
Resposta
A série
é convergente.