Qual das séries abaixo é divergente?
sumn=2^infty n+cos nn^3-sin n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a série sumn=2^infty n+cos nn^3-sin n é divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, mais especificamente, testes de convergência como o Teste da Comparação ou o Teste do Termo Geral. Precisamos entender como o comportamento dos termos da série se comporta quando n fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: n+cos nn^3-sin n. Para analisar a convergência ou divergência, é útil simplificar esse termo observando como ele se comporta quando n tende ao infinito.

Passo 3

Quando n fica muito grande, o termo cos n oscila entre -1 e 1, e sin n também faz o mesmo. Então, em termos de crescimento, eles têm uma influência bem menor comparados aos outros termos. Assim, podemos aproximar:
n+cos nn^3-sin n approx nn^3 = 1n^2

Passo 4

Agora, sabemos que a série sumn=2^infty 1n^2 é uma série p, onde p = 2. Sabemos também que séries p convergem quando p > 1. Então, essa série comparativa converge.

Passo 5

Mas queremos saber sobre a série original. Como aproximamos que n+cos nn^3-sin n approx 1n^2, e a série comparativa converge, podemos usar o Teste da Comparação. Como os termos da nossa série original são menores ou iguais aos da série que converge, concluímos que nossa série também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty n+cos nn^3-sin n é convergente.

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