Qual das séries abaixo é divergente?
sumk=1^infty 2^k3^k+5^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série abaixo é divergente:
sumk=1^infty 2^k3^k+5^k
Estamos trabalhando com séries infinitas, especificamente analisando se elas convergem ou divergem. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar os termos da série com termos de séries que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série conforme k cresce. Olhando para:
2^k3^k + 5^k
Percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm potências de números. Vamos ver qual dos termos no denominador domina quando k fica grande.

Passo 3

No denominador, temos 3^k + 5^k . Quando k aumenta, 5^k cresce muito mais rápido que 3^k . Então, para valores grandes de k , 5^k vai ser muito maior que 3^k , e podemos aproximar:
3^k + 5^k approx 5^k

Passo 4

Com essa aproximação, o termo da série fica mais simples:
2^k3^k + 5^k approx 2^k5^k = (25)^k
Agora, temos uma série que se parece com uma série geométrica.

Passo 5

Sabemos que uma série geométrica sumk=1^infty r^k converge se |r| < 1 e diverge se |r| >= 1. No nosso caso, r = 25 , que é menor que 1.

Passo 6

Como a série sumk=1^infty (25)^k converge, e nossos termos originais são aproximadamente iguais a essa série para k grande, podemos concluir que a série original também converge.

Passo 7

Portanto, a série dada não é divergente.

Resposta

A série sumk=1^infty 2^k3^k+5^k converge.

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