Identifique a região de R^2 onde as funções são diferenciáveis:
z=2 x y

Passo 1

O enunciado pede para identificar o subconjunto de R^2 em que a função
z = 2xy
é diferenciável. O conteúdo que vamos usar é que uma função polinomial de várias variáveis tem derivadas parciais em todo lugar e essas derivadas são contínuas, o que implica diferenciabilidade.

Passo 2

Para verificar a diferenciabilidade de f(x,y)=2xy, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y) = 2y, partial fpartial y(x,y) = 2x
Ambas são funções lineares em (x,y) e, portanto, contínuas em todo R^2. Como as derivadas parciais existem e são contínuas em toda a região, f é de classe C^infty em R^2.

Resposta

A função z=2xy é diferenciável em todo R^2.

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