Qual das séries abaixo é divergente?
Passo 1
Beleza, vamos ver qual das séries apresentadas diverge. A série que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries e como determinar se elas convergem ou divergem. Vamos usar o Teste do Termo Geral e o Teste da Comparação para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Para entender o comportamento dessa sequência quando
fica muito grande, vamos olhar para os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 3
No numerador, o termo de maior grau é
, e no denominador é
. Então, quando
tende ao infinito, o termo
se comporta aproximadamente como:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo
se assemelha a
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. Séries p convergem quando
. Portanto,
converge.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação. Como
e
converge, podemos afirmar que nossa série original:
também converge, já que seus termos são menores ou comparáveis aos termos de uma série convergente.
Resposta
A série apresentada é convergente.