Qual das séries abaixo é divergente?
sumn=1^infty 13 nn^3+n+1

Passo 1

Beleza, vamos ver qual das séries apresentadas diverge. A série que vamos analisar é:
sumn=1^infty 13 nn^3+n+1
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries e como determinar se elas convergem ou divergem. Vamos usar o Teste do Termo Geral e o Teste da Comparação para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
an = 13 nn^3+n+1
Para entender o comportamento dessa sequência quando n fica muito grande, vamos olhar para os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 3

No numerador, o termo de maior grau é 13n , e no denominador é n^3 . Então, quando n tende ao infinito, o termo an se comporta aproximadamente como:
an approx 13nn^3 = 13n^2
Isso significa que, para valores grandes de n , o termo an se assemelha a 13n^2 .

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p, onde p = 2 . Séries p convergem quando p > 1 . Portanto, sumn=1^infty 1n^2 converge.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação. Como an approx 13n^2 e sum 1n^2 converge, podemos afirmar que nossa série original:
sumn=1^infty 13 nn^3+n+1
também converge, já que seus termos são menores ou comparáveis aos termos de uma série convergente.

Resposta

A série apresentada é convergente.

Exercícios relacionados