Identifique a região de R^2 onde as funções são diferenciáveis:
z=e^x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a região de R^2 onde a função
f(x,y) = e^x^2 - y^2
é diferenciável. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, que podemos abordar usando a composição de funções diferenciáveis.

Passo 2

Definimos primeiro a função intermédia
u(x,y) = x^2 - y^2
Como u é dada por polinômios em x e y, seus coeficientes são constantes e as operações são soma, subtração e potência inteira, concluímos que u é de classe C^infty em toda R^2. Em particular, u é diferenciável em todo ponto de R^2.

Passo 3

Considere agora a função unidimensional
g(t) = e^t,
que é de classe C^infty em todo R. Pelo Teorema da Diferenciação de Composição, a função
f(x,y) = gl(u(x,y)r)
herda a diferenciabilidade de g e u. Logo, f é de classe C^infty em qualquer ponto onde u(x,y) esteja definido, ou seja, em toda R^2.

Passo 4

Como tanto u quanto g são diferenciáveis em seus domínios, a composição f(x,y)=e^x^2-y^2 é diferenciável em todo ponto de R^2.

Resposta

A função z=e^x^2-y^2 é diferenciável em toda a região R^2.

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