Identifique a região de
onde as funções são diferenciáveis:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a região de
onde a função
é diferenciável. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, que podemos abordar usando a composição de funções diferenciáveis.
Passo 2
Definimos primeiro a função intermédia
Como
é dada por polinômios em
e
, seus coeficientes são constantes e as operações são soma, subtração e potência inteira, concluímos que
é de classe
em toda
. Em particular,
é diferenciável em todo ponto de
.
Passo 3
Considere agora a função unidimensional
que é de classe
em todo
. Pelo Teorema da Diferenciação de Composição, a função
herda a diferenciabilidade de
e
. Logo,
é de classe
em qualquer ponto onde
esteja definido, ou seja, em toda
.
Passo 4
Como tanto
quanto
são diferenciáveis em seus domínios, a composição
é diferenciável em todo ponto de
.
Resposta
A função
é diferenciável em toda a região
.