Qual das séries abaixo é divergente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de séries. A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo
. Séries alternadas têm termos que mudam de sinal a cada termo, ou seja, são positivas e negativas alternadamente. Isso nos leva a pensar no Teste da Série Alternada para verificar a convergência.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: ou seja, . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Vamos verificar essas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, vamos definir
. Precisamos ver se
é decrescente. Observando os termos, conforme
aumenta, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas precisamos analisar qual cresce mais rápido.
Para facilitar, podemos comparar os termos dominantantes:
no numerador e
no denominador. Sabemos que
cresce mais rápido que
, então
tende a crescer com
, o que significa que não é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Dividindo o numerador e o denominador por
:
Portanto, o limite não é zero.
Passo 6
Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (o limite não é zero), a série não converge pelo teste. Além disso, como os termos não tendem a zero, a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.