Qual das séries abaixo é divergente?
sumn=1^infty(-1)^n raizn17+12 raiz[3]n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de séries. A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty(-1)^n raizn17+12 raiz[3]n converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo (-1)^n. Séries alternadas têm termos que mudam de sinal a cada termo, ou seja, são positivas e negativas alternadamente. Isso nos leva a pensar no Teste da Série Alternada para verificar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são decrescentes: ou seja, an+1 <= an.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero: limn to infty an = 0.
Vamos verificar essas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, vamos definir an = raizn17 + 12 raiz[3]n. Precisamos ver se an é decrescente. Observando os termos, conforme n aumenta, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas precisamos analisar qual cresce mais rápido.
Para facilitar, podemos comparar os termos dominantantes: raizn no numerador e 12 raiz[3]n no denominador. Sabemos que raizn = n^1/2 cresce mais rápido que n^1/3, então an tende a crescer com n, o que significa que não é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty raizn17 + 12 raiz[3]n = limn to infty n^1/217 + 12 n^1/3
Dividindo o numerador e o denominador por n^1/3:
limn to infty n^1/2/n^1/317/n^1/3 + 12 = limn to infty n^1/60 + 12 = infty
Portanto, o limite não é zero.

Passo 6

Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (o limite não é zero), a série não converge pelo teste. Além disso, como os termos não tendem a zero, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n raizn17+12 raiz[3]n é divergente.

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