Prove que o limite dado está correto.
lim x -infty 2^x=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto -infty2^x=0
O conteúdo aqui é limite de função exponencial quando o argumento tende a -infty. Vamos usar a definição de limite em infinito: para todo varepsilon>0 deve existir MinR tal que, sempre que x<M, tenhamos lvert2^x-0rvert<varepsilon.

Passo 2

Começamos aplicando a condição lvert2^x-0rvert<varepsilon. Note que 2^x>0 para todo x, então essa desigualdade equivale a
2^x<varepsilon

Passo 3

Para resolver 2^x<varepsilon, tomamos logaritmo natural em ambos os lados. Como ln é estritamente crescente e ln2>0, obtemos
ln(2^x)<ln(varepsilon) Longrightarrow xln2<ln(varepsilon) Longrightarrow x<ln(varepsilon)ln2
Portanto, basta escolher
M=ln(varepsilon)ln2

Passo 4

Com essa escolha de M, sempre que x<M temos 2^x<varepsilon, ou seja lvert2^x-0rvert<varepsilon. Isso satisfaz a definição de limite em infinito e prova que
limxto -infty2^x=0

Resposta

0

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