Identifique a região do R^3 descrita em coordenadas esféricas por:
rho^2-3 rho+2 <= 0

Passo 1

O enunciado nos dá a descrição de uma região em R^3 usando coordenadas esféricas, isto é, pontos (rho,theta,varphi) com
rho^2 - 3rho + 2 <= 0
O conteúdo da matéria envolve entender como a coordenada rho (a distância ao centro) determina regiões espaciais e depois interpretar o resultado em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para descobrir para quais valores de rho a desigualdade é válida, resolvemos
rho^2 - 3rho + 2 <= 0
Primeiro fatoramos o polinômio:
rho^2 - 3rho + 2 = (rho - 1)(rho - 2)

Passo 3

A inequação (rho - 1)(rho - 2)<= 0 é satisfeita quando rho está entre as raízes, ou seja,
1 <= rho <= 2

Passo 4

Em coordenadas esféricas, rho é exatamente a distância do ponto ao origem. Logo a condição
1 <= rho <= 2
significa que estamos considerando todos os pontos em R^3 cuja distância até o centro está entre 1 e 2, abrangendo as duas esferas de raio 1 e de raio 2.

Resposta

A região é a “casca esférica” fechada de centro na origem e com raio interno 1 e raio externo 2; em coordenadas cartesianas,
(x,y,z)inR^3 mid 1 <= raizx^2+y^2+z^2 <= 2

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