Prove que o limite dado está correto.
lim x +infty 1x+2=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, por definição de limite quando xto+infty, que
limxto+infty1x+2=0
O conteúdo envolve a prova varepsilon M para limites no infinito: dado varepsilon>0, devemos encontrar um número M tal que, sempre que x>M, tenhamos l|tfrac1x+2-0r|<varepsilon.

Passo 2

Começamos manipulando a expressão de interesse. Para x>-2 (em particular para x>0), o denominador x+2 é positivo, então
l|1x+2-0r| = 1x+2

Passo 3

Queremos fazer tfrac1x+2<varepsilon. Basta garantir que
x+2 > 1varepsilon
Para isso, basta exigir simultaneamente
x > 2 e x > 1varepsilon

Passo 4

Defina
M = maxl2,;1varepsilonr
Então, se x>M, temos x>2 e x>tfrac1varepsilon. Logo
x+2 > x > 1varepsilon Longrightarrow 1x+2 < varepsilon,
o que mostra l|tfrac1x+2-0r|<varepsilon.

Resposta

limxto+infty1x+2=0

Exercícios relacionados