Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-1s+1s^2-4 s

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de s+1s^2-4s. Para isso vamos usar decomposição em frações parciais e o Teorema 7.2.1 (deslocamento no domínio de Laplace).

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^2-4s = s,(s-4)
Logo, queremos L^-1!ltfracs+1s,(s-4)r.

Passo 3

Assumimos a forma
s+1s,(s-4) = As + Bs-4
Multiplicando ambos os lados por s,(s-4), chega-se a
s+1 = A,(s-4) + B,s

Passo 4

Para achar A e B, avaliamos em valores convenientes de s.
Se s=0, então 1 = Acdot(-4), daí A = -tfrac14.
Se s=4, então 5 = Bcdot4, daí B = tfrac54.

Passo 5

Substituindo A e B, obtemos
s+1s,(s-4) = -tfrac14,1s + tfrac54,1s-4

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa de cada parcela. Sabemos que
L^-1tfrac1s=1
e, pelo deslocamento,
L^-1tfrac1s-4 = e^4t

Passo 7

Então a solução no domínio do tempo é
f(t) = -tfrac14cdot1 + tfrac54,e^4t = -tfrac14 + tfrac54,e^4t

Resposta

f(t) = -14 + 54,e^4t

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