Identifique a região do R^3 descrita em coordenadas esféricas por:
tan theta=4

Passo 1

O enunciado dá em coordenadas esféricas a condição
tantheta=4.
Queremos interpretar isso no espaço R^3.
Para isso, vamos usar as fórmulas de conversão
x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta,
onde r>=0, thetain[0,pi] e phiin[0,2pi).

Passo 2

Em esféricas
tantheta=sinthetacostheta =(rsintheta)/r(rcostheta)/r =raizx^2+y^2/rz/r =raizx^2+y^2z
Logo, a condição tantheta=4 vira
raizx^2+y^2z=4

Passo 3

Multiplicando por z (e lembrando que para tantheta>0 temos z>0), obtemos
raizx^2+y^2=4,z
Elevando ao quadrado, chega-se a
x^2+y^2=16,z^2,
com a restrição z>0.

Passo 4

A equação
x^2+y^2=16,z^2, z>0
é a superfície de um cone circular reto (somente a “nuvem” acima do plano xy), cujo eixo é o eixo z e cujo semÂngulo com o eixo z é
theta=arctan(4)

Resposta

A região é a superfície de um cone reto dado por
x^2+y^2=16,z^2, z>0,
isto é, o cone de semiângulo theta=arctan(4) em torno do eixo z.

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