Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral
verificando por que ela é imprópria e determinando se converge ou diverge. Vamos usar a definição de integral imprópria (limite em um ponto singular) e, para calcular seu valor, uma mudança de variável que resolva a raiz.
Passo 2
A integral é imprópria porque, em
, o denominador
tende a zero e a função comporta-se como
, cuja integral perto de zero precisa ser tratada como limite:
Passo 3
Para eliminar a raiz, fazemos a substituição
Quando
,
; e quando
,
. A integral torna-se
Passo 4
Calculamos primeiro a integral com limite inferior
:
Agora fazemos
. Como
, obtemos
Portanto a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral é imprópria devido à singularidade em
, mas converge, e seu valor é