Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
integral0^1 1(1+x) raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral
integral0^11(1+x)raizx,dx
verificando por que ela é imprópria e determinando se converge ou diverge. Vamos usar a definição de integral imprópria (limite em um ponto singular) e, para calcular seu valor, uma mudança de variável que resolva a raiz.

Passo 2

A integral é imprópria porque, em x=0, o denominador (1+x)raizx tende a zero e a função comporta-se como x^-1/2, cuja integral perto de zero precisa ser tratada como limite:
integral0^11(1+x)raizx,dx =limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^11(1+x)raizx,dx

Passo 3

Para eliminar a raiz, fazemos a substituição
x = t^2, dx = 2t,dt, raizx=t
Quando x=varepsilon, t=raizvarepsilon; e quando x=1, t=1. A integral torna-se
integralvarepsilon^11(1+x)raizx,dx =integralraizvarepsilon^11l(1+t^2r),t;2t,dt =integralraizvarepsilon^121+t^2,dt

Passo 4

Calculamos primeiro a integral com limite inferior raizvarepsilon:
integralraizvarepsilon^121+t^2,dt =2l[arctan(t)r]t=raizvarepsilon^t=1 =2l(arctan(1)-arctan(raizvarepsilon)r) =2l(tfracpi4-arctan(raizvarepsilon)r)
Agora fazemos varepsilonto0^+. Como arctan(raizvarepsilon)to0, obtemos
limvarepsilonto0^+integralraizvarepsilon^121+t^2,dt =2cdotpi4 =pi2
Portanto a integral converge e seu valor é pi/2.

Resposta

A integral é imprópria devido à singularidade em x=0, mas converge, e seu valor é
integral0^11(1+x)raizx,dx = pi2

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