( 2,0 pts) Seja uma função tal que , para todo . Calcule o valor da seguinte integral
sendo .
Passo 1
O enunciado dá uma função cuja linha de campo de gradiente sobre o círculo unitário é
para todo . Pede-se calcular
onde é o disco unitário .
Conteúdo envolvido: usar o fato de e aplicar o Teorema da Divergência (ou Forma de Green em duas dimensões) para transformar a integral de área numa integral de contorno.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência em temos
onde é o vetor normal unitário externo à fronteira e o elemento de comprimento.
Passo 3
Parametrizamos a fronteira (círculo de raio 1) por
Nesse caso o vetor normal externo coincide com e o elemento de arco é
Passo 4
Em cada ponto da curva temos
nabla f(cos t,sin t)cdotn(t) =(sin t,cos t)cdot(cos t,sin t) =sin tcos t+cos tsin t =2sin tcos t =sin(2t)