( 2,0 pts) Seja f(x, y) uma função tal que nabla f(cos t, sen t)=sen t i+cos t j, para todo 0 <= t <= 2 pi. Calcule o valor da seguinte integral
integral duplaD De<a f(x, y) d x d y
sendo D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado dá uma função f(x,y) cuja linha de campo de gradiente sobre o círculo unitário é
nabla f(cos t,sin t)=sin t,i+cos t,j,
para todo 0<= t<=2pi. Pede-se calcular
integral duplaDDe<a f(x,y),dx,dy,
onde D é o disco unitário x^2+y^2<=1.
Conteúdo envolvido: usar o fato de De<a f=nablacdot(nabla f) e aplicar o Teorema da Divergência (ou Forma de Green em duas dimensões) para transformar a integral de área numa integral de contorno.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência em R^2 temos
integral duplaDDe<a f,dx,dy =integral duplaDnablacdot(nabla f),dx,dy =ointpartial Dnabla fcdotn,ds,
onde n é o vetor normal unitário externo à fronteira partial D e ds o elemento de comprimento.

Passo 3

Parametrizamos a fronteira partial D (círculo de raio 1) por
r(t)=(cos t,sin t), 0<= t<=2pi
Nesse caso o vetor normal externo coincide com r(t) e o elemento de arco é
n(t)=(cos t,sin t), ds=l|r'(t)r|,dt =raizsin^2t+cos^2t,dt=dt

Passo 4

Em cada ponto da curva temos
nabla f(cos t,sin t)cdotn(t) =(sin t,cos t)cdot(cos t,sin t) =sin tcos t+cos tsin t =2sin tcos t =sin(2t)
Logo a integral de contorno é
ointpartial Dnabla fcdotn,ds =integral0^2pisin(2t),dt =0,
pois sin(2t) é função periódica de período pi e se anula em um período completo.

Resposta

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