Seja
é um operador linear sobre
cujo polinômio caraterístico seja igual a
Se o operador linear
é diagonalizável. Qual seria o seu polinômio minimal?
Passo 1
O enunciado diz que
é um operador linear em
cujo polinômio característico é
e que
é diagonalizável. O conteúdo aqui é teoria de autovalores e minimal polinomial de um operador diagonalizável.
Passo 2
Sabemos que, para um operador diagonalizável, o polinômio minimal se fatora em fatores lineares distintos, cada um correspondente a um autovalor, todos com expoente 1. Em outras palavras, se as raízes de
são
, então
Passo 3
Os autovalores de
são as raízes de
, ou seja,
,
e
. Como
é diagonalizável, cada um desses aparece de multiplicidade 1 no polinômio minimal.