Seja T é um operador linear sobre R^6 cujo polinômio caraterístico seja igual a
PT(lambda)=(lambda+1)^3(lambda-1)^2(lambda+4)
Se o operador linear T é diagonalizável. Qual seria o seu polinômio minimal?

Passo 1

O enunciado diz que T é um operador linear em R^6 cujo polinômio característico é
PT(lambda) = (lambda + 1)^3(lambda - 1)^2(lambda + 4),
e que T é diagonalizável. O conteúdo aqui é teoria de autovalores e minimal polinomial de um operador diagonalizável.

Passo 2

Sabemos que, para um operador diagonalizável, o polinômio minimal se fatora em fatores lineares distintos, cada um correspondente a um autovalor, todos com expoente 1. Em outras palavras, se as raízes de PT são lambda1,lambda2,ldots,lambdak, então
mT(lambda) = prodi=1^k (lambda - lambdai)

Passo 3

Os autovalores de T são as raízes de PT, ou seja, lambda=-1, lambda=1 e lambda=-4. Como T é diagonalizável, cada um desses aparece de multiplicidade 1 no polinômio minimal.

Resposta

mT(lambda) = (lambda + 1),(lambda - 1),(lambda + 4)

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