Questão 1. ( Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{R} x y^{2} d x d y, onde R=[1,2] \times[2,3];

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla da função \,x y^{2}\, sobre a região retangular R=[1,2]\times[2,3].
Dados importantes fornecidos:
\,R=[1,2]\times[2,3]\, (ou seja, x varia de \,1 a \,2 e y varia de \,2 a \,3).
A função a integrar é \,f(x,y)=x y^{2}\,.
O objetivo é computar \displaystyle \iint_{R} x y^{2}\,dx\,dy.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): quando a região é um retângulo como \,R=[a,b]\times[c,d]\,, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada — isto é, integramos primeiro numa variável (mantendo a outra fixa) e depois integramos o resultado sobre a segunda variável. Formalmente, uma das formas equivalentes é
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{y=c}^{d}\left(\int_{x=a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui a ideia prática: ao integrar em x tratamos y como constante, e vice-versa. Também existe a regra do fator constante: se durante a integração em x algo não depende de x (por exemplo y^2), podemos puxar isso para fora da integral em x.

Passo 3

Escolho integrar primeiro em x e depois em y. Escrevo a integral iterada correspondente:
\iint_{R} x y^{2}\,dx\,dy = \int_{y=2}^{3}\left(\int_{x=1}^{2} x y^{2}\,dx\right)dy.
Aqui, dentro da integral interna \int_{1}^{2} x y^{2}\,dx, a expressão \,y^{2}\, é constante em relação a x.

Passo 4

Calculo a integral interna. Uso a propriedade de fator constante:
\int_{x=1}^{2} x y^{2}\,dx = y^{2}\int_{x=1}^{2} x\,dx.
Agora integro \,x: sabemos que \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}. Portanto
\int_{x=1}^{2} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Multiplicando por y^{2} obtemos que a integral interna é
\int_{x=1}^{2} x y^{2}\,dx = \frac{3}{2}\,y^{2}.

Passo 5

Agora calculo a integral externa:
\int_{y=2}^{3} \frac{3}{2}\,y^{2}\,dy = \frac{3}{2}\int_{y=2}^{3} y^{2}\,dy.
Integramos \,y^{2}\,: \displaystyle \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}. Assim
\frac{3}{2}\int_{2}^{3} y^{2}\,dy = \frac{3}{2}\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{2}^{3} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}\left(3^{3}-2^{3}\right) = \frac{1}{2}\left(27-8\right).
Calculando 27-8=19, obtemos
\frac{1}{2}\cdot 19 = \frac{19}{2}.

Passo 6

Verificação (opcional, mas útil pra prova): integrar na ordem contrária dá o mesmo resultado. Escrevendo
\iint_{R} x y^{2}\,dx\,dy = \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=2}^{3} x y^{2}\,dy\right)dx,
a integral interna em y é x\int_{2}^{3} y^{2}\,dy = x\cdot\frac{19}{3}. Então a externa é
\int_{1}^{2} \frac{19}{3} x\,dx = \frac{19}{3}\cdot\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{19}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{19}{2},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{19}{2}

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