Questão 1. ( Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas: \iint_{R} x y^{2} d x d y, onde R=[1,2] \times[2,3];
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla da função \,x y^{2}\, sobre a região retangular R=[1,2]\times[2,3].
Dados importantes fornecidos: \,R=[1,2]\times[2,3]\, (ou seja, x varia de \,1 a \,2 e y varia de \,2 a \,3).
A função a integrar é \,f(x,y)=x y^{2}\,.
O objetivo é computar \displaystyle \iint_{R} x y^{2}\,dx\,dy.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): quando a região é um retângulo como \,R=[a,b]\times[c,d]\,, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada — isto é, integramos primeiro numa variável (mantendo a outra fixa) e depois integramos o resultado sobre a segunda variável. Formalmente, uma das formas equivalentes é
Aqui a ideia prática: ao integrar em x tratamos y como constante, e vice-versa. Também existe a regra do fator constante: se durante a integração em x algo não depende de x (por exemplo y^2), podemos puxar isso para fora da integral em x.
Passo 3
Escolho integrar primeiro em x e depois em y. Escrevo a integral iterada correspondente:
\iint_{R} x y^{2}\,dx\,dy = \int_{y=2}^{3}\left(\int_{x=1}^{2} x y^{2}\,dx\right)dy.
Aqui, dentro da integral interna \int_{1}^{2} x y^{2}\,dx, a expressão \,y^{2}\, é constante em relação a x.
Passo 4
Calculo a integral interna. Uso a propriedade de fator constante:
\int_{x=1}^{2} x y^{2}\,dx = y^{2}\int_{x=1}^{2} x\,dx.