Identifique se as soluções dadas atendem as seguintes equações diferenciais e se a combinação linear delas pode ser empregada para formar a solução geral. Obs: Quando a divisão y1 / y2 não gerar uma constante, y1 e y2 são linearmente independentes.).
x^2 y^prime prime-x(x+2) y^prime+(x+2) y=0 ; x>0 ; y1(t)=x, y2(t)=x e^x
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.2]

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=0,
com domínio x>0, e pede pra checar se as funções y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x e^{x} são soluções e se são linearmente independentes, de modo a formar a solução geral.

Passo 2

Para y_{1}(x)=x calculamos as derivadas:
y1'=1,
y1''=0
Substituindo na equação:
x^2igl(0r)-x(x+2)(1)+(x+2)(x)=0 -x^2-2x +x^2+2x=0, 
logo y_{1} satisfaz a equação.

Passo 3

Para y_{2}(x)=x e^{x} temos:
y2'=e^x+x e^x,
y2''=e^x+(e^x+x e^x)=2e^x+x e^x
Substituindo na equação e fatorando e^{x} resulta em soma de termos em x{3},x{2},x que se cancelam, dando 0. Portanto y_{2} também é solução.

Passo 4

Para verificar independência linear examinamos a razão
racy1y2= racxx e^x=e^-x,
que não é constante em x>0. Isso prova que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Passo 5

Sendo duas soluções linearly independentes de uma EDO de segunda ordem, a solução geral é dada pela combinação linear
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x e^{x}

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