Identifique se as soluções dadas atendem as seguintes equações diferenciais e se a combinação linear delas pode ser empregada para formar a solução geral. Obs: Quando a divisão
não gerar uma constante,
e
são linearmente independentes.).
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.2]
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.2]
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
com domínio x>0, e pede pra checar se as funções y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x e^{x} são soluções e se são linearmente independentes, de modo a formar a solução geral.
Passo 2
Para y_{1}(x)=x calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
logo y_{1} satisfaz a equação.
Passo 3
Para y_{2}(x)=x e^{x} temos:
Substituindo na equação e fatorando e^{x} resulta em soma de termos em x{3},x{2},x que se cancelam, dando 0. Portanto y_{2} também é solução.
Passo 4
Para verificar independência linear examinamos a razão
que não é constante em x>0. Isso prova que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.
Passo 5
Sendo duas soluções linearly independentes de uma EDO de segunda ordem, a solução geral é dada pela combinação linear
Resposta
y(x)=C_{1}x+C_{2}x e^{x}