Identifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.
Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, considerer N(X)=phi in E ; phi(x)=0 forall x in X. Prove :
i. Para todo X subset R, N(X) é um subespaço vetorial de E.
ii. X subset Y Rightarrow N(Y) subset N(X)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que identificar quais subconjuntos são subespaços vetoriais. Estamos trabalhando no espaço E = F(R; R) , que é o conjunto de todas as funções de R para R . Para qualquer subconjunto X de R , definimos N(X) = phi in E ;|; phi(x) = 0 ; forall x in X . Precisamos provar duas coisas:
  1. Para todo X subset R , N(X) é um subespaço vetorial de E .
  2. Se X subset Y , então N(Y) subset N(X) .
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos provar que N(X) é um subespaço vetorial de E para qualquer X subset R .
Para ser um subespaço vetorial, N(X) precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A função zero phi(x) = 0 para todo x está em N(X) porque ela satisfaz phi(x) = 0 para todo x in X .
  2. Fechado por adição: Se phi e psi estão em N(X) , então phi + psi também está em N(X) . Isso porque para qualquer x in X , (phi + psi)(x) = phi(x) + psi(x) = 0 + 0 = 0 .
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Se phi está em N(X) e c é um escalar, então cphi também está em N(X) . Isto é, para qualquer x in X , (cphi)(x) = c cdot phi(x) = c cdot 0 = 0 .
Como todas essas condições são satisfeitas, concluímos que N(X) é um subespaço vetorial de E .

Passo 3

Agora, vamos provar que se X subset Y , então N(Y) subset N(X) .
Imagine que X está contido em Y , ou seja, todo elemento de X também está em Y . Agora, pegue uma função phi que está em N(Y) . Isso significa que phi(y) = 0 para todo y in Y .
Como X subset Y , todo x in X também está em Y . Portanto, para todo x in X , phi(x) = 0 . Assim, phi também está em N(X) .
Isso mostra que todo elemento de N(Y) está em N(X) , ou seja, N(Y) subset N(X) .

Resposta

Concluímos que para qualquer X subset R , N(X) é um subespaço vetorial de E , e se X subset Y , então N(Y) subset N(X) .

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