Identifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.
Seja
. Para
qualquer, considerer
. Prove :
i. Para todo
é um subespaço vetorial de
.
ii.
Seja
i. Para todo
ii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que identificar quais subconjuntos são subespaços vetoriais. Estamos trabalhando no espaço
, que é o conjunto de todas as funções de
para
. Para qualquer subconjunto
de
, definimos
. Precisamos provar duas coisas:
- Para todo
, é um subespaço vetorial de . - Se
, então .
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
é um subespaço vetorial de
para qualquer
.
Para ser um subespaço vetorial,
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: A função zero
para todo está em porque ela satisfaz para todo . - Fechado por adição: Se
e estão em , então também está em . Isso porque para qualquer , . - Fechado por multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em . Isto é, para qualquer , .
Como todas essas condições são satisfeitas, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Agora, vamos provar que se
, então
.
Imagine que
está contido em
, ou seja, todo elemento de
também está em
. Agora, pegue uma função
que está em
. Isso significa que
para todo
.
Como
, todo
também está em
. Portanto, para todo
,
. Assim,
também está em
.
Isso mostra que todo elemento de
está em
, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que para qualquer
,
é um subespaço vetorial de
, e se
, então
.