Mostre que os polinômios a seguir são linearmente independentes
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que os polinômios
são linearmente independentes no espaço vetorial dos polinômios. Para isso, usamos a definição: polinômios
são L.I. se a única solução da combinação linear
é
.
Passo 2
Escrevemos a combinação geral e agrupamos termos semelhantes:
Expandindo e juntando coeficientes de cada potência de
, obtemos
Passo 3
Como esse polinômio é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero.
- Coeficiente de
:
- Substituindo
, sobra
Coeficiente de:
- Agora
, fica
Coeficiente de:
Passo 4
Chegamos a
. Como nenhuma outra escolha de escalares satisfaz a combinação nula, concluímos que
são linearmente independentes.
Resposta
Os polinômios
são linearmente independentes.