Mostre que os polinômios a seguir são linearmente independentes
p(x)=x^3+5 x^2+1, q(x)=2 x^4+5 x-6, r(x)=x^2-5 x+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os polinômios
p(x)=x^3+5x^2+1, q(x)=2x^4+5x-6, r(x)=x^2-5x+2
são linearmente independentes no espaço vetorial dos polinômios. Para isso, usamos a definição: polinômios p,q,r são L.I. se a única solução da combinação linear
alpha,p(x)+beta,q(x)+gamma,r(x)=0(polinômio nulo) ô
é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação geral e agrupamos termos semelhantes:
alpha,(x^3+5x^2+1)+beta,(2x^4+5x-6)+gamma,(x^2-5x+2)=0
Expandindo e juntando coeficientes de cada potência de x, obtemos
2beta,x^4 + alpha,x^3 + (5alpha+gamma),x^2 + (5beta-5gamma),x + (alpha -6beta+2gamma)=0

Passo 3

Como esse polinômio é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero.
  1. Coeficiente de x^4:
2beta=0Longrightarrowbeta=0
  1. Substituindo beta=0, sobra
    alpha,x^3 + (5alpha+gamma),x^2 -5gamma,x + (alpha+2gamma)=0
    Coeficiente de x^3:
alpha=0
  1. Agora alpha=beta=0, fica
    gamma,x^2 -5gamma,x +2gamma=0
    Coeficiente de x^2:
gamma=0

Passo 4

Chegamos a alpha=beta=gamma=0. Como nenhuma outra escolha de escalares satisfaz a combinação nula, concluímos que p,q,r são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios p,q,r são linearmente independentes.

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