Seja
uma região tal que sua fronteira é uma curva
, fechada, simples e suave. Verifique que a área de
é dada por
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, dada uma região
cujo contorno
é uma curva fechada, simples e suave, a sua área
pode ser expressa como o integral de linha
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona integrais duplos sobre
a integrais de linha sobre
.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para um campo vetorial
contínuo e com derivadas parciais contínuas em
, vale
Passo 3
Para transformar
em integral de linha, escolhemos funções
e
tais que
Uma escolha conveniente é
Então
logo
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green com essas
e
, obtemos
Passo 5
Como
, concluímos que