Seja \Omega uma região tal que sua fronteira é uma curva \gamma, fechada, simples e suave. Verifique que a área de \Omega é dada por A=\frac{1}{2} \oint_{\gamma} x d y-y d x

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, dada uma região \Omega cujo contorno \gamma é uma curva fechada, simples e suave, a sua área
A = \iint_{\Omega} dA
pode ser expressa como o integral de linha
A = \frac12 \oint_{\gamma} x\,dy \;-\; y\,dx.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona integrais duplos sobre \Omega a integrais de linha sobre \gamma.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para um campo vetorial (P,Q) contínuo e com derivadas parciais contínuas em \Omega\cup\gamma, vale
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{\Omega} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Para transformar \iint_{\Omega} dA em integral de linha, escolhemos funções P e Q tais que
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \;=\; 1.
Uma escolha conveniente é
P(x,y) = -\frac{y}{2}, \qquad Q(x,y) = \frac{x}{2}.
Então
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac12, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac12,
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\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac12 - \bigl(-\tfrac12\bigr) = 1.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green com essas P e Q, obtemos
\iint_{\Omega} 1\,dA \;=\; \oint_{\gamma} \Bigl(-\tfrac{y}{2}\Bigr)\,dx + \Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,dy \;=\; \frac12\oint_{\gamma} \bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).

Passo 5

Como \displaystyle \iint_{\Omega} 1\,dA = A, concluímos que
A = \frac12 \oint_{\gamma} x\,dy \;-\; y\,dx.

Resposta

A = \frac12 \oint_{\gamma} \bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).

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