Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral definido
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro passo técnico: usar a identidade trigonométrica que relaciona
com
. A identidade é
Explicando:
e
. A identidade vem de dividir a identidade pitagórica
por
. Essa identidade é muito útil para transformar potências de
em termos que envolvem
, que aparece naturalmente em derivadas de
.
Passo 3
Reescrevo
como
e uso a identidade do passo anterior:
Assim o integral se separa:
Passo 4
Vou calcular o primeiro integral
por substituição simples. Seja
Então a derivada é
pois
. Com isso
Expliquei: a substituição troca uma combinação trigonométrica por uma integral polinomial simples em
.
Passo 5
Agora calculo o segundo integral
. Escrevo
e faço outra substituição:
Logo
Observação didática: essa é uma das integrais fundamentais de trigonometria — transformar em
pela substituição
.
Passo 6
Com os dois resultados obtidos, uma primitiva (antiderivada) para
é
Explicando a composição: lembrando que o integral original era diferença entre os dois integrandos, somam-se as primitivas com os sinais correspondentes e obtém-se
. Posso verificar derivando
:
, OK.
Passo 7
Aplico o teorema fundamental do cálculo para o integral definido. Avalio
em
e
:
Calculo os valores numéricos precisos:
Portanto
Passo 8
Escrevo o resultado de forma condensada e bonita: