\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral definido
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{3}(x)\,dx.
Informações dadas:
\text{intervalo de integração: } x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right], \qquad\text{integrando: } \operatorname{tg}^{3}(x).çã

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a identidade trigonométrica que relaciona \operatorname{tg}^{2}x com \operatorname{sec}^{2}x. A identidade é
1+\operatorname{tg}^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x.
Explicando: \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. A identidade vem de dividir a identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 por \cos^{2}x. Essa identidade é muito útil para transformar potências de \operatorname{tg} em termos que envolvem \operatorname{sec}^{2}x, que aparece naturalmente em derivadas de \operatorname{tg}x.

Passo 3

Reescrevo \operatorname{tg}^{3}x como \operatorname{tg}x\cdot\operatorname{tg}^{2}x e uso a identidade do passo anterior:
\operatorname{tg}^{3}x=\operatorname{tg}x\cdot(\operatorname{sec}^{2}x-1)=\operatorname{tg}x\operatorname{sec}^{2}x-\operatorname{tg}x.
Assim o integral se separa:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{tg}^{3}x\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{tg}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{tg}x\,dx.

Passo 4

Vou calcular o primeiro integral \displaystyle\int \operatorname{tg}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx por substituição simples. Seja
u=\operatorname{tg}x.
Então a derivada é
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx,
pois \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^{2}x. Com isso
\int \operatorname{tg}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+\text{const}=\frac{\operatorname{tg}^{2}x}{2}+\text{const}.
Expliquei: a substituição troca uma combinação trigonométrica por uma integral polinomial simples em u.

Passo 5

Agora calculo o segundo integral \displaystyle\int \operatorname{tg}x\,dx. Escrevo \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e faço outra substituição:
v=\cos x\quad\Rightarrow\quad dv=-\sin x\,dx.
Logo
\int \operatorname{tg}x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\int \frac{1}{v}\,dv=-\ln|v|+\text{const}=-\ln|\cos x|+\text{const}.
Observação didática: essa é uma das integrais fundamentais de trigonometria — transformar em \ln pela substituição v=\cos x.

Passo 6

Com os dois resultados obtidos, uma primitiva (antiderivada) para \operatorname{tg}^{3}x é
F(x)=\frac{\operatorname{tg}^{2}x}{2}+\ln|\cos x| + C.
Explicando a composição: lembrando que o integral original era diferença entre os dois integrandos, somam-se as primitivas com os sinais correspondentes e obtém-se F. Posso verificar derivando F: \dfrac{d}{dx}F(x)=\operatorname{tg}x(\operatorname{sec}^{2}x-1)=\operatorname{tg}^{3}x, OK.

Passo 7

Aplico o teorema fundamental do cálculo para o integral definido. Avalio F em x=\dfrac{\pi}{4} e x=0:
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\operatorname{tg}^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}+\ln\!\left|\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|, \qquad F(0)=\frac{\operatorname{tg}^{2}0}{2}+\ln|\cos 0|.
Calculo os valores numéricos precisos:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \Rightarrow \frac{\operatorname{tg}^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}=\frac{1}{2},
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\ln\!\left(2^{-1/2}\right)=-\tfrac{1}{2}\ln 2,
\operatorname{tg}0=0 \Rightarrow \frac{\operatorname{tg}^{2}0}{2}=0, \qquad \cos 0=1 \Rightarrow \ln 1=0.
Portanto
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2\right)-0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 8

Escrevo o resultado de forma condensada e bonita:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{tg}^{3}x\,dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2=\frac{1-\ln 2}{2}.

Resposta

\dfrac{1-\ln 2}{2}

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