Identifique as superfícies abaixo:
9 z^{2}+9 y^{2}+9 x^{2}-8=0

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique a superfície dada pela equação
9 z^{2}+9 y^{2}+9 x^{2}-8=0.
Informações fornecidas: a equação explícita em x,y,z e nenhum outro dado. A pergunta é: que superfície do espaço tridimensional essa equação representa?

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a equação dividindo todos os termos por 9 para ver uma forma mais clara. Divido cada termo por 9:
\frac{9x^{2}}{9}+\frac{9y^{2}}{9}+\frac{9z^{2}}{9}-\frac{8}{9}=0,
ou seja
x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{8}{9}=0.

Passo 3

Reescrevo isolando as quadráticas de um lado:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{8}{9}.
Agora faço uma pausa didática: a forma geral de uma esfera de centro (a,b,c) e raio r é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2},
onde a,b,c são as coordenadas do centro e r é o raio. Cada termo (x-a)^{2} indica distância ao quadrado em x, etc. Quando o centro é a origem, (a,b,c)=(0,0,0), a equação simplifica para
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.

Passo 4

Comparando nossa equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{8}{9}
com a forma padrão x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, vemos que o centro é (0,0,0) (a origem) e
r^{2}=\frac{8}{9}.
Calculamos o raio r como raiz quadrada:
r=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Breve explicação do cálculo: \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} e \sqrt{9}=3, por isso a simplificação.

Passo 5

Interpretação final e reforço didático: como todos os termos quadráticos têm sinais positivos iguais e a equação se reduz a x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} com r^{2}>0, a superfície é uma esfera (não um elipsóide nem um hiperboloide). Se o lado direito fosse zero teríamos apenas o ponto na origem; se fosse negativo não haveria pontos reais. Aqui temos uma esfera de raio positivo.

Resposta

Esfera de centro (0,0,0) e raio \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

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