Identifique as superfícies abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para identificar a(s) superfície(s) descrita(s) pela equação
Informações dadas: a equação explícita relaciona
,
e
com um número real
. A pergunta implícita é: que tipo de superfície do espaço tridimensional essa equação representa e quais são suas características principais?
Passo 2
Primeiro passo algébrico: vamos rearranjar a equação para uma forma mais familiar, movendo todos os termos para o mesmo lado. Somando
em ambos os lados obtemos
Isso é só uma reescrita — nada foi alterado, apenas colocamos tudo no mesmo lado para comparar com formas padrão.
Passo 3
Agora pense no que caracteriza os diferentes tipos de “quadricas” (superfícies definidas por equações quadráticas). Uma forma geral é algo como
Quando os coeficientes
na parte quadrática são todos positivos e a constante do outro lado é positiva, a superfície é uma região limitada (fechada) do tipo elipsoide (uma “esfera alongada” ou achatada), centrada no ponto onde não há termos lineares (aqui, na origem). Vou explicar por quê, de forma simples: o conjunto de pontos que satisfazem uma soma de quadrados ponderados igual a uma constante positiva é limitado em todas as direções — ao crescer qualquer coordenada, a soma ultrapassa a constante — logo a superfície é fechada e tem formato elipsoidal.
No nosso caso os coeficientes são
,
e
, todos positivos, e a constante é
. Portanto devemos estar diante de um elipsoide centrado na origem.
Passo 4
Para ver o elipsoide na forma padrão, dividimos ambos os lados por
para obter 1 no lado direito:
Agora escrevemos cada fração na forma
. Para
e
fica mais claro se isolarmos os denominadores:
Esta é a forma padrão de um elipsoide alinhado aos eixos coordenados.
Passo 5
Interpretação de semi-eixos: na forma padrão de um elipsoide alinhado,
os números
,
,
são os comprimentos dos semi-eixos ao longo de
,
e
respectivamente (distâncias do centro até os pontos de interseção com os eixos). Comparando com nossa forma temos
Portanto
Passo 6
Vamos calcular os pontos onde a superfície intercepta cada eixo (útil para visualização e para provas):
- Interseção com o eixo
: coloque e . Da equação , obtemos os pontos . Ou seja . - Interseção com o eixo
: coloque e . Da equação resulta . Ou seja . - Interseção com o eixo
: coloque e . Da equação resulta . Ou seja .
Esses são exatamente os extremos nos três eixos dos semi-eixos calculados no passo anterior.
Passo 7
Observações sobre secções e comportamento: quaisquer seções por planos alinhados aos eixos (por exemplo, planos
constante,
constante ou
constante) darão elipses (ou degenerarão para um ponto se a constante for ± um extremo). Exemplo: a seção por
é a curva
que é uma elipse no plano
. Isso reforça a ideia de que toda a superfície é um elipsoide (coleção de elipses variando com a coordenada fixa).
Passo 8
Recapitulando de modo prático e com linguagem de prova: ao observar que todos os coeficientes na soma de quadrados são positivos e a constante é positiva, reescrevemos na forma
identificamos um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos ao longo dos eixos coordenados de comprimentos
,
e
.
Resposta
Elipsoide centrado na origem com equação
\nSemi-eixos:
,
,
.