Identifique as superfícies abaixo:
x^{2}=-3 y^{2}-4 z^{2}+7

Passo 1

O enunciado pede para identificar a(s) superfície(s) descrita(s) pela equação
x^{2}=-3y^{2}-4z^{2}+7.
Informações dadas: a equação explícita relaciona x^{2}, y^{2} e z^{2} com um número real 7. A pergunta implícita é: que tipo de superfície do espaço tridimensional essa equação representa e quais são suas características principais?

Passo 2

Primeiro passo algébrico: vamos rearranjar a equação para uma forma mais familiar, movendo todos os termos para o mesmo lado. Somando 3y^{2}+4z^{2} em ambos os lados obtemos
x^{2}+3y^{2}+4z^{2}=7.
Isso é só uma reescrita — nada foi alterado, apenas colocamos tudo no mesmo lado para comparar com formas padrão.

Passo 3

Agora pense no que caracteriza os diferentes tipos de “quadricas” (superfícies definidas por equações quadráticas). Uma forma geral é algo como
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+\dots = \text{constante}.
Quando os coeficientes A,B,C na parte quadrática são todos positivos e a constante do outro lado é positiva, a superfície é uma região limitada (fechada) do tipo elipsoide (uma “esfera alongada” ou achatada), centrada no ponto onde não há termos lineares (aqui, na origem). Vou explicar por quê, de forma simples: o conjunto de pontos que satisfazem uma soma de quadrados ponderados igual a uma constante positiva é limitado em todas as direções — ao crescer qualquer coordenada, a soma ultrapassa a constante — logo a superfície é fechada e tem formato elipsoidal.
No nosso caso os coeficientes são 1, 3 e 4, todos positivos, e a constante é 7>0. Portanto devemos estar diante de um elipsoide centrado na origem.

Passo 4

Para ver o elipsoide na forma padrão, dividimos ambos os lados por 7 para obter 1 no lado direito:
\frac{x^{2}}{7}+\frac{3y^{2}}{7}+\frac{4z^{2}}{7}=1.
Agora escrevemos cada fração na forma \dfrac{\text{algo}^2}{a^2}. Para y e z fica mais claro se isolarmos os denominadores:
\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{7/3}+\frac{z^{2}}{7/4}=1.
Esta é a forma padrão de um elipsoide alinhado aos eixos coordenados.

Passo 5

Interpretação de semi-eixos: na forma padrão de um elipsoide alinhado,
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
os números a, b, c são os comprimentos dos semi-eixos ao longo de x, y e z respectivamente (distâncias do centro até os pontos de interseção com os eixos). Comparando com nossa forma temos
a^{2}=7,\quad b^{2}=\frac{7}{3},\quad c^{2}=\frac{7}{4}.
Portanto
a=\sqrt{7},\quad b=\sqrt{\tfrac{7}{3}},\quad c=\sqrt{\tfrac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.

Passo 6

Vamos calcular os pontos onde a superfície intercepta cada eixo (útil para visualização e para provas):
  • Interseção com o eixo x: coloque y=0 e z=0. Da equação \,x^{2}=7, obtemos os pontos \,x=\pm\sqrt{7}. Ou seja (\pm\sqrt{7},0,0).
  • Interseção com o eixo y: coloque x=0 e z=0. Da equação 3y^{2}=7 resulta y=\pm\sqrt{7/3}. Ou seja (0,\pm\sqrt{7/3},0).
  • Interseção com o eixo z: coloque x=0 e y=0. Da equação 4z^{2}=7 resulta z=\pm\sqrt{7/4}=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}. Ou seja (0,0,\pm\tfrac{\sqrt{7}}{2}).
Esses são exatamente os extremos nos três eixos dos semi-eixos calculados no passo anterior.

Passo 7

Observações sobre secções e comportamento: quaisquer seções por planos alinhados aos eixos (por exemplo, planos x= constante, y= constante ou z= constante) darão elipses (ou degenerarão para um ponto se a constante for ± um extremo). Exemplo: a seção por x=0 é a curva
3y^{2}+4z^{2}=7,
que é uma elipse no plano x=0. Isso reforça a ideia de que toda a superfície é um elipsoide (coleção de elipses variando com a coordenada fixa).

Passo 8

Recapitulando de modo prático e com linguagem de prova: ao observar que todos os coeficientes na soma de quadrados são positivos e a constante é positiva, reescrevemos na forma
\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{7/3}+\frac{z^{2}}{7/4}=1,
identificamos um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos ao longo dos eixos coordenados de comprimentos \sqrt{7}, \sqrt{7/3} e \sqrt{7}/2.

Resposta

Elipsoide centrado na origem com equação \displaystyle \frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{7/3}+\frac{z^{2}}{7/4}=1\nSemi-eixos: a=\sqrt{7}, b=\sqrt{7/3}, c=\sqrt{7}/2.

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