Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Descreva a seção cônica, identificando seus vértices. Faça um esboço da seção cônica.
(d) \frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{16}=1.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de seção cônica dada pela equação
\frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{16}=1,
encontrar seus vértices e fazer um esboço. O conteúdo é classificação de hipérboles a partir da forma padrão.

Passo 2

Reconhecemos que a equação está na forma padrão
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
ou seja, é uma hipérbole com ramo principal ao longo do eixo x (transversal horizontal).

Passo 3

Identificamos o centro e os parâmetros:
O centro é (h,k)=(1,1).
Temos a^{2}=4, logo a=2.
E b^{2}=16, logo b=4.

Passo 4

Os vértices de uma hipérbole horizontal são
(h\pm a,\;k),
ou seja,
(1-2,1)=(-1,1) \quad\text{e}\quad (1+2,1)=(3,1).

Passo 5

Para o esboço marcamos:
  • Centro em (1,1).
  • Vértices em (-1,1) e (3,1).
  • Ramos abrem para a esquerda e para a direita.
  • Assíntotas passam pelo centro com inclinações \pm\frac{b}{a}=\pm2, dadas por
y-1=\pm2(x-1).

Resposta

É uma hipérbole de eixo transverso horizontal, com centro em (1,1).
Vértices em (-1,1) e (3,1).
Assíntotas:
y-1=\pm2(x-1).

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