Verifique se as funções a seguir são ou não transformações lineares. Justifique.
3. T: R^3 R^3, com T(x, y, z)=(x+y, 2 x-z, y+1);

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (x+y,;2x - z,;y+1),
e pede para verificar se T é uma transformação linear, ou seja, se satisfaz
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) para todos u,vinR^3,
  2. T(c,u)=c,T(u) para todo uinR^3 e todo escalar c.

Passo 2

Uma forma rápida de descartar linearidade é verificar a imagem do vetor zero. Se T fosse linear, teríamos
T(0,0,0)=0inR^3
Mas
T(0,0,0) = (0+0,;2cdot0 - 0,;0+1) = (0,0,1)neq (0,0,0)
Logo falha a condição T(0)=0.

Passo 3

Como a propriedade T(0)=0 não vale, necessariamente T não pode ser aditiva nem homogênea em geral. Basta essa violação para concluir que T não é linear.

Resposta

A aplicação T não é transformação linear, pois não envia o vetor zero em zero (tem T(0,0,0)=(0,0,1)neq(0,0,0)).

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