Verifique se as funções a seguir são ou não transformações lineares. Justifique.
3.
, com
;
3.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede para verificar se
é uma transformação linear, ou seja, se satisfaz
-
para todos , -
para todo e todo escalar .
Passo 2
Uma forma rápida de descartar linearidade é verificar a imagem do vetor zero. Se
fosse linear, teríamos
Mas
Logo falha a condição
.
Passo 3
Como a propriedade
não vale, necessariamente
não pode ser aditiva nem homogênea em geral. Basta essa violação para concluir que
não é linear.
Resposta
A aplicação
não é transformação linear, pois não envia o vetor zero em zero (tem
).