Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente. \left\{\begin{aligned}-x+y & =0 \\\ x+3 y & =7 \\\\ 2 x+y & =10\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} -x + y = 0,\\\ x + 3y = 7,\\\\ 2x + y = 10 \end{cases}
que é um sistema linear sobredeterminado (três equações e duas incógnitas). Vamos encontrar a solução de dois deles e depois verificar se ela satisfaz a terceira.
Passo 2
Escolhendo as duas primeiras equações, da primeira temos
-x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Substituindo em x + 3y = 7 obtemos
x + 3x = 7 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 7 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{7}{4},
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y = \frac{7}{4}.
Passo 3
Agora verificamos se \bigl(x,y\bigr) = \bigl(\tfrac{7}{4},\tfrac{7}{4}\bigr) satisfaz a terceira equação 2x + y = 10:
Como falha nessa equação, concluímos que não há nenhum par (x,y) que satisfaça as três equações simultaneamente.
Passo 4
Geometricamente, cada equação representa uma reta no plano (x,y). As duas primeiras se cruzam em \bigl(\tfrac{7}{4},\tfrac{7}{4}\bigr), mas essa reta-ponto não pertence à terceira reta 2x+y=10. De fato, cada par de retas tem um ponto de interseção diferente, e não existe um ponto comum às três. Portanto o sistema é incompatível.