Identifique
e
e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o ponto central
e os coeficientes
de uma série de potências da forma
, além de determinar o raio
e o intervalo de convergência. Vamos usar teoria de séries de potências e o teste da raiz (Cauchy–Hadamard).
Passo 2
Comparando a série dada com a forma padrão
, identificamos
e
.
Passo 3
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz:
Como
e
, segue
. Logo
.
Passo 4
A condição de convergência absoluta é
, ou seja
equivalente a
.
Passo 5
Testando os extremos:
Para a série vira
Para
que converge por ser alternada com termos em módulo decrescentes a zero (teste de Leibniz).
Para a série é
Para
que diverge como série harmônica. Assim o intervalo de convergência é
.