Identifique x0 e cn e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
sumn=0^infty 2^n(x-3)^nn+3

Passo 1

O enunciado pede para identificar o ponto central x0 e os coeficientes cn de uma série de potências da forma sum cn (x - x0)^n, além de determinar o raio R e o intervalo de convergência. Vamos usar teoria de séries de potências e o teste da raiz (Cauchy–Hadamard).

Passo 2

Comparando a série dada com a forma padrão sumn=0^infty cn (x - x0)^n, identificamos x0 = 3 e cn = 2^nn+3.

Passo 3

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz:
R = 1limsupntoinfty |cn|^1/n
Como
|cn|^1/n = (2^nn+3)^1/n = 2(n+3)^1/n,
e (n+3)^1/n to 1, segue limsup |cn|^1/n = 2. Logo R = 1/2.

Passo 4

A condição de convergência absoluta é |x - 3| < R, ou seja
|x-3| < 12,
equivalente a x in (3 - 1/2,,3 + 1/2).

Passo 5

Testando os extremos:
Para x = 5/2 a série vira
sumn=0^infty (-1)^nn+3,
que converge por ser alternada com termos em módulo decrescentes a zero (teste de Leibniz).
Para x = 7/2 a série é
sumn=0^infty 1n+3,
que diverge como série harmônica. Assim o intervalo de convergência é [5/2,,7/2).

Resposta

x0 = 3, cn = 2^nn+3, raio de convergência R = tfrac12, intervalo de convergência [tfrac52,,tfrac72).

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