Nos itens abaixo determine a derivada direcional de
no ponto
na direção de
para
. Determine também a direção segundo a qual
cresce mais rapidamente em
, bem como a taxa máxima de crescimento.
Passo 1
A questão pede a derivada direcional de f em P na direção de P→Q, a direção de maior crescimento e a taxa máxima de crescimento. Para isso vamos usar o conceito de gradiente, normalizar o vetor direção e fazer produto escalar.
Passo 2
Calcular o gradiente de f(x,y). Lembrando que ∂/∂x de x²e^(−2y) é 2x e^(−2y) e ∂/∂y é x²·(−2)e^(−2y).
Passo 3
Avaliar o gradiente em P=(2,0). Como e^(−2·0)=1, temos:
Passo 4
Encontrar o vetor de direção P→Q: Q−P=(-3−2,2−0)=(-5,2). Seu módulo é √(25+4)=√29. Então o vetor unitário é:
$$
\mathbf{u}=\frac{(-5,2)}{\sqrt{29}}$$
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar entre ∇f§ e u:
$$
D_{\mathbf{u}}f§=∇f(2,0)\cdot\mathbf{u}=\frac{4·(-5)+(-8)·2}{\sqrt{29}}=-\frac{36}{\sqrt{29}}$$
Passo 6
A direção de crescimento mais rápido é a do gradiente em P. O vetor unitário nessa direção é ∇f(2,0)/||∇f(2,0)||, onde ||∇f(2,0)||=√(4²+(-8)²)=4√5. Assim:
A taxa máxima de crescimento é ||∇f(2,0)||=4√5.
Resposta
Derivada direcional = -\frac{36}{\sqrt{29}}, direção de maior crescimento = (\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}), taxa máxima de crescimento = 4\sqrt{5}.