Verifique que não existe.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que limxto0sinl(1/xr) não existe. O conteúdo principal aqui é o conceito de limite de função em um ponto e vamos usar o critério de limites via sequências para mostrar a não existência do limite.

Passo 2

A teoria de limite via sequências diz que, se limxto af(x)=L existe, então para qualquer sequência (xn) diferente de a que converge para a, a sequência f(xn) deve convergir para L. Para provar que o limite não existe, basta achar duas sequências que vão para 0 mas cujas imagens em sin(1/x) tenham limites diferentes.

Passo 3

Escolhemos a sequência
xn=12pi n+pi2,
que satisfaz xnto0 quando ntoinfty. Então
sinl(1/xnr)=sinl(2pi n+tfracpi2r)=1
para todo n, logo sin(1/xn)to1.

Passo 4

Agora escolhemos outra sequência
yn=12pi n+tfrac3pi2,
que também satisfaz ynto0. Para ela temos
sinl(1/ynr)=sinl(2pi n+tfrac3pi2r)=-1
para todo n, logo sin(1/yn)to-1.

Passo 5

Como as duas sequências xn e yn convergem para 0 mas produzem limites distintos (1 e -1), concluímos que não há um único valor L tal que todas as sequências em torno de 0 levem sin(1/x) a L. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite limxto0sinl(1/xr) não existe.

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