Identifique e e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o centro , os coeficientes da série de potências e achar raio e intervalo de convergência da série . Vamos usar convergência de séries de potências e teste da razão.
Passo 2
Observamos que a série está em potências de . Logo o centro é . Comparando com , temos para
e pois não há termo constante.
Passo 3
Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão aos coeficientes:
Passo 4
Logo R=1. O intervalo interior de convergência é dado por
|x+1|<1implies -2
Passo 5
Precisamos verificar o comportamento nos extremos:
Para x=0 a série vira sumn=1^infty1n(n+1), que converge por telescopia.
Para x=-2 a série vira sumn=1^infty(-1)^n1n(n+1), que converge pelo critério de Leibniz (sinais alternados e termos decrescentes a zero).
Como ambos extremos convergem, o intervalo de convergência é fechado em -2 e 0.
Resposta
x₀=-1, cₙ=1/[n(n+1)], R=1, intervalo de convergência: [−2,0]