Identifique x0 e cn e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
sumn=1^infty (x+1)^nn(n+1)

Passo 1

O enunciado pede para identificar o centro x0, os coeficientes cn da série de potências e achar raio e intervalo de convergência da série sumn=1^infty(x+1)^nn(n+1). Vamos usar convergência de séries de potências e teste da razão.

Passo 2

Observamos que a série está em potências de x+1. Logo o centro é x0=-1. Comparando com sum cn(x-x0)^n, temos para n>=1
cn=1n(n+1),
e c0=0 pois não há termo constante.

Passo 3

Para o raio de convergência R aplicamos o teste da razão aos coeficientes:
limntoinftyl|cncn+1r|=limntoinfty1/[n(n+1)]1/[(n+1)(n+2)]=limntoinfty(n+1)(n+2)n(n+1)=1

Passo 4

Logo R=1. O intervalo interior de convergência é dado por
|x+1|<1implies -2

Passo 5

Precisamos verificar o comportamento nos extremos:
Para x=0 a série vira sumn=1^infty1n(n+1), que converge por telescopia.
Para x=-2 a série vira sumn=1^infty(-1)^n1n(n+1), que converge pelo critério de Leibniz (sinais alternados e termos decrescentes a zero).
Como ambos extremos convergem, o intervalo de convergência é fechado em -2 e 0.

Resposta

x₀=-1, cₙ=1/[n(n+1)], R=1, intervalo de convergência: [−2,0]

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