Identifique e e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o centro e os coeficientes de uma série de potências, além de achar raio e intervalo de convergência para . Vamos usar reescrita da base , teste da raiz e verificar os extremos.
Passo 2
Observando que , temos
Logo, em forma padrão o centro é e
Passo 3
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz em :
Assim o raio é
R=12=tfrac12
Passo 4
O intervalo de convergência é centrado em -tfrac32 com raio tfrac12, ou seja
-2
Agora testamos os extremos:
Em x=-2: 2x+3=-1 e a série vira sum1/(nln n), que diverge.
Em x=-1: 2x+3=1 e fica sum(-1)^n/(nln n), que converge (critérios de Leibniz).
Passo 5
Portanto o intervalo de convergência é
(-2,-1] com convergência condicional em x=-1 e divergência em x=-2.
Resposta
x_{0}=-\tfrac32, \quad c_{n}=(-1){n}\dfrac{2{n}}{n\ln(n)}, \quad R=\tfrac12, \quad intervalo de convergência(-2,-1]