Identifique x0 e cn e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
sumn=2^infty(-1)^n (2 x+3)^nn ln (n)

Passo 1

O enunciado pede para identificar o centro x0 e os coeficientes cn de uma série de potências, além de achar raio e intervalo de convergência para sumn=2^infty(-1)^n(2x+3)^nnln(n). Vamos usar reescrita da base 2x+3, teste da raiz e verificar os extremos.

Passo 2

Observando que 2x+3=2l(x+tfrac32r), temos
(2x+3)^n=2^n,(x+tfrac32)^n
Logo, em forma padrão sum cn(x-x0)^n o centro é x0=-tfrac32 e
cn=(-1)^n2^nnln(n)

Passo 3

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz em cn:
limntoinftyl|cnr|^1/n =limntoinfty2(nln(n))^1/n =2cdot1=2
Assim o raio é
R=12=tfrac12

Passo 4

O intervalo de convergência é centrado em -tfrac32 com raio tfrac12, ou seja
-2
Agora testamos os extremos:
  • Em x=-2: 2x+3=-1 e a série vira sum1/(nln n), que diverge.
  • Em x=-1: 2x+3=1 e fica sum(-1)^n/(nln n), que converge (critérios de Leibniz).

Passo 5

Portanto o intervalo de convergência é
(-2,-1] com convergência condicional em x=-1 e divergência em x=-2.

Resposta

x_{0}=-\tfrac32, \quad c_{n}=(-1){n}\dfrac{2{n}}{n\ln(n)}, \quad R=\tfrac12, \quad intervalo de convergência(-2,-1]

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