If f(s)=LF(t), show that Lintegral0^t d t1 integral0^t1 F(u) d u=f(s)s^2. [The double integral is sometimes briefly written as integral0^t integral0^t F(t) d t^2.]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
integral0^t gl(integral0^t1F(u),dugr),dt1
O conteúdo principal é a propriedade de que integrar no tempo corresponde a dividir por s no domínio de Laplace. Vamos usar também o fato de que a derivada em t vira multiplicação por s.

Passo 2

Defina
G(t)=integral0^tF(u),du
Então G'(t)=F(t) e G(0)=0. Pela propriedade da derivada,
LG'(t) =;s,LG(t)-G(0) ;Rightarrow;f(s)=s,LG(t)
Como G(0)=0, temos
LG(t)=f(s)s

Passo 3

Agora defina
H(t)=integral0^tG(t1),dt1
Então H'(t)=G(t) e H(0)=0. Aplicando de novo a propriedade da derivada,
LH'(t) =;s,LH(t)-H(0) ;Rightarrow;LG(t) =s,LH(t)
Como H(0)=0 e LG(t)=f(s)/s, segue
s,LH(t)=f(s)s Longrightarrow LH(t)=f(s)s^2

Resposta

Llintegral0^tdt1integral0^t1F(u),dur =f(s)s^2

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