Show that Lintegral0^t 1-e^-uu d u=1s ln (1+1s).

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a transformada de Laplace de
F(t)=integral0^t1-e^-uu,du
Os conteúdos que vamos usar são a propriedade da transformada da derivada e uma identidade de integral para diferença de exponenciais.

Passo 2

Defina g(t)=1-e^-tt. Então F'(t)=g(t) e F(0)=0. Aplicando a transformada na derivada, temos
LF'(t)=s,LF(t)-F(0) ;Longrightarrow; Lg(t)=s,LF(t)
Logo se chamarmos G(s)=Lg(t), segue
LF(t)=G(s)s

Passo 3

Calculemos G(s):
G(s) =integral0^inftye^-st,1-e^-tt,dt =integral0^inftye^-st-e^-(s+1)tt,dt

Passo 4

Considere a função
H(a,b)=integral0^inftye^-at-e^-btt,dt
Derivando em a sob o sinal de integral,
partial Hpartial a =-integral0^inftye^-at,dt =-1a
Integrando em a surge
H(a,b)=-ln(a)+C(b)
Como H(b,b)=0, temos C(b)=ln(b) e
H(a,b)=ln!l(tfracbar)
No nosso caso a=s e b=s+1, então
G(s)=H(s,s+1)=ln!l(tfracs+1sr) =ln!l(1+1sr)

Passo 5

Substituindo em LF(t)=G(s)/s, obtém-se
LF(t) =1s,ln!l(1+1sr)

Resposta

1sln!l(1+1sr)

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