If LF(t)=s^2-s+1(2 s+1)^2(s-1), find LF(2 t).

Passo 1

O enunciado dá
LF(t) = dfracs^2 - s + 1(2s + 1)^2(s - 1),
e pede LF(2t).
O conteúdo é a propriedade de mudança de escala no domínio do tempo para transformada de Laplace.

Passo 2

A propriedade de mudança de escala diz que, para a>0,
LF(a,t)(s) = 1a;F!l(tfracsar)
Aqui vamos usar a=2.

Passo 3

Aplicando a=2,
LF(2t)(s) = 12;F!l(tfracs2r) = 12;l(tfracs2r)^2-l(tfracs2r)+1 l(2cdottfracs2+1r)^2,l(tfracs2-1r)

Passo 4

Calculemos separadamente numerador e denominador internos:
  1. Numerador:
l(tfracs2r)^2-l(tfracs2r)+1 = s^24-s2+1
  1. Denominador:
l(2cdottfracs2+1r)^2,l(tfracs2-1r) = (s+1)^2,s-22 = (s+1)^2(s-2)2
Logo,
F!l(tfracs2r) = s^24-s2+1 (s+1)^2(s-2)2 = 2,s^24-s2+1(s+1)^2(s-2) = s^22-s+2(s+1)^2(s-2)
Multiplicando por tfrac12 à frente,
LF(2t)(s) = 12,tfracs^22-s+2(s+1)^2(s-2) = tfracs^24-tfracs2+1(s+1)^2(s-2)

Passo 5

Reescrevendo o numerador com denominador comum 4,
s^24-s2+1 = s^2-2s+44,
obtém-se a forma mais limpa:

Resposta

boxed LF(2t)(s) = s^2-2s+44,(s+1)^2,(s-2)

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