If F1(t), F2(t), ldots, Fn(t) have Laplace transforms f1(s), f2(s), ldots, fn(s) respectively and c1, c2, ldots, cn are any constants, prove that
Lc1 F1(t)+c2 F2(t)+cdots+cn Fn(t)=c1 f1(s)+c2 f2(s)+cdots+cn fn(s)

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Temos funções F1(t),F2(t),dots,Fn(t) cujas transformadas são f1(s),f2(s),dots,fn(s) e constantes c1,c2,dots,cn. Queremos mostrar que a transformada de Laplace de
c1F1(t)+c2F2(t)+cdots+cnFn(t)
é exatamente
c1f1(s)+c2f2(s)+cdots+cnfn(s)

Passo 2

Lembramos a definição da transformada de Laplace de uma função F(t):
LF(t)(s);=;integral0^inftye^-,s t,F(t),dt

Passo 3

Aplicando a definição à combinação linear, temos
Llc1F1(t)+cdots+cnFn(t)r(s) =integral0^inftye^-stl(c1F1(t)+cdots+cnFn(t)r),dt

Passo 4

Pela linearidade do operador integral e pela regra de fatoração de constantes dentro da integral, podemos distribuir soma e constantes:
integral0^inftye^-stsumi=1^nciFi(t),dt =sumi=1^nciintegral0^inftye^-stFi(t),dt

Passo 5

Cada integral integral0^inftye^-stFi(t),dt é, por definição, fi(s). Logo
sumi=1^nciintegral0^inftye^-stFi(t),dt =sumi=1^nci,fi(s)

Resposta

Llc1F1(t)+c2F2(t)+cdots+cnFn(t)r =c1f1(s)+c2f2(s)+cdots+cnfn(s)

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