If LF(t)=e^-1 / ss, find Le^-t F(3 t).

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
LF(t)(s)=e^-1/ss
e pede
Lle^-tF(3t)r(s)
Vamos usar as propriedades de mudança de escala no tempo e deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Pela definição,
Le^-tF(3t)(s) =integral0^inftye^-stl(e^-tF(3t)r),dt =integral0^inftye^-(s+1)tF(3t),dt
Fazemos a troca de variável u=3t, logo t=u/3 e dt=du/3. Então
Le^-tF(3t)(s) =integral0^inftye^-(s+1)u3F(u),du3 =13integral0^inftye^-s+13uF(u),du

Passo 3

O integral acima é exatamente a transformada de F(u) avaliada em
p=s+13
Ou seja,
Le^-tF(3t)(s) =13,LF(u)!l(p=tfracs+13r)

Passo 4

Como LF(p)=dfrace^-1/pp, substituímos p=(s+1)/3:
Le^-tF(3t)(s) =13,expl(-1/(tfracs+13)r)tfracs+13 =13,e^-3/(s+1)(s+1)/3 =e^-3/(s+1)s+1

Resposta

Lle^-tF(3t)r(s) =e^-tfrac3s+1s+1

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