Investigate the existence of the Laplace transform of
cos t^2

Passo 1

O enunciado pede para investigar para quais valores de sinC a integral de Laplace
L cos(t^2)(s) =integral0^inftye^-stcosl(t^2r),dt
existe. O conteúdo envolve definição de transformada de Laplace e critérios de convergência de integrais impróprias (convergência absoluta e convergência condicional via teste de Dirichlet ou comparações simples).

Passo 2

Escrevendo o integral de Laplace, temos
I(s)=integral0^inftye^-stcosl(t^2r),dt
Para estudar a existência, separamos em duas partes: convergência absoluta e convergência condicional.

Passo 3

Convergência absoluta:
integral0^inftyl|e^-stcos(t^2)r|,dt =integral0^inftye^-Re(s),tl|cos(t^2)r|,dt <=integral0^inftye^-Re(s),t,dt
Esse último integral converge se, e somente se, Re(s)>0, pois
integral0^inftye^-Re(s),t,dt =1Re(s)<infty
Logo, para Re(s)>0 a integral original converge absolutamente e, portanto, existe.

Passo 4

Caso Re(s)=0, ou seja s=iomega (incluindo s=0), temos
I(iomega)=integral0^inftye^-iomega tcos(t^2),dt
e em particular para omega=0
integral0^inftycos(t^2),dt
é conhecido como integral de Fresnel e converge (condicionalmente) a um valor finito raizpi/8. Pela oscilação crescente de cos(t^2) e pelo fato de que sua primitiva parcial permanece limitada, pode-se aplicar o teste de Dirichlet para mostrar que I(iomega) converge também para todo omega.

Passo 5

Para Re(s)<0, temos e^-Re(s),t=e^|Re(s)|,t que cresce exponencialmente, de modo que
l|e^-stcos(t^2)r|>= e^|Re(s)|,t,|cos(t^2)|não é integrável em [0,infty), ãéá
logo o integral diverge.

Resposta

A transformada de Laplace de cos(t^2) existe (converge absolutamente) para todos os s tais que
Re(s)>0
Além disso, estendendo-se por convergência condicional, também converge para Re(s)=0, mas diverge sempre que Re(s)<0.

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