If f(s)=LF(t), prove that for r>0, Lr^t F(a t)=1a f(s-ln ra)

Passo 1

O enunciado nos dá que f(s)=LF(t), ou seja,
f(s)=integral0^inftye^-s,tF(t),dt
Queremos mostrar que, para r>0,
Llr^tF(a,t)r(s) =1a,f!l(s-ln rar)
Usaremos a definição da transformada de Laplace e uma mudança de variável.

Passo 2

Pela definição,
Llr^tF(a,t)r(s) =integral0^inftye^-s,t,r^t,F(a,t),dt
Como r^t=e^tln r, o integrando fica
e^-s,t,e^tln r,F(a,t) =e^-(s-ln r),t,F(a,t)

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u=a,t. Então t=u/a e dt=tfracdua. Os limites t=0toinfty viram u=0toinfty. Logo,
Llr^tF(a,t)r(s) =integral0^inftye^-(s-ln r),tF(a,t),dt =1aintegral0^infty e^-(s-ln r),ua,F(u),du

Passo 4

No integral acima reconhecemos a definição de f avaliando em s-ln ra, pois
f!l(s-ln rar) =integral0^infty e^-l(s-ln rar),u,F(u),du
Portanto
Llr^tF(a,t)r(s) =1a;f!l(s-ln rar)

Resposta

Llr^tF(a,t)r(s) =1a,f!l(s-ln rar)

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