Investigate the existence of the Laplace transform of
e^t^2-t

Passo 1

O enunciado pede para investigar a existência da transformada de Laplace de f(t)=e^t^2 - t. Para isso vamos usar a definição
Lf(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e verificar se essa integral converge para algum valor de s.

Passo 2

Aplicando a definição temos
Le^t^2 - t(s) =integral0^inftye^-ste^t^2 - t,dt =integral0^inftye^t^2 - (s+1)t,dt

Passo 3

Para estudar a convergência no infinito, observe que, para ttoinfty, o termo t^2 domina (Re(s)+1)t. Mais precisamente, existe T>0 tal que para todo t>T,
t^2 - (Re(s)+1),t >= tfrac12,t^2
Isso implica
e^t^2 - (s+1)t>= e^tfrac12,t^2
e, como
integralT^inftye^tfrac12,t^2,dt
diverge (já que o integrando cresce superexponencialmente), a integral original também diverge para qualquer valor de s.

Passo 4

Como não existe nenhum s que torne a integral convergente em +infty, concluímos que a transformada de Laplace de e^t^2 - t não existe.

Resposta

A transformada de Laplace de e^t^2 - t não existe (o domínio de convergência é vazio).

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