Show that integralt=0^infty integralu=0^t e^-t sin uu d u d t=pi4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
I ;=;integralt=0^inftyintegralu=0^te^-t,sin uu,du,dt ;=;pi4
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e depois reconhecer uma integral imprópria típica do tipo
integral0^inftye^-a u,sin uu,du.

Passo 2

Aplicamos Fubini (a função é positiva em parte e absolutamente convergente) trocando a ordem de integração no domínio
(u,t)mid 0<= u<= t<infty. Assim
I =integralu=0^inftyintegralt=u^inftye^-t,sin uu,dt,du

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em t:
integralt=u^inftye^-t,dt =l[-e^-tr]t=u^t=infty =e^-u
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I =integralu=0^inftysin uu,e^-u,du

Passo 4

Defina a função parâtrica
f(a) =integral0^inftye^-a u,sin uu,du, a>0
Diferenciando sob o sinal de integral,
f'(a) =-integral0^inftyu,e^-a u,sin uu,du =-integral0^inftye^-a u,sin u,du =-11+a^2
Aqui usamos a fórmula integral0^inftye^-a usin u,du=1/(1+a^2).

Passo 5

Como limatoinftyf(a)=0, temos
f(a) =integralinfty^af'(x),dx =integralinfty^al(-11+x^2r)dx =integrala^infty11+x^2,dx =pi2-arctan(a)
Para a=1:
f(1) =pi2-arctan(1) =pi2-pi4 =pi4

Resposta

integralt=0^inftyintegralu=0^te^-t,sin uu,du,dt =pi4

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