Sejam
e
números reais distintos. Mostre que, para todo
, vale a igualdade:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dadas duas constantes reais distintas
e
, para todo
vale
O conteúdo principal é a soma de uma progressão geométrica ou, equivalentemente, usar soma telescópica.
Passo 2
Denominemos
Como
, podemos multiplicar ambos os lados por
sem perder a equivalência.
Passo 3
Calculemos
Expandindo, obtemos
Note que nesta soma cada termo interior cancela com o próximo:
Sobram apenas o primeiro e o último termos, isto é,
Passo 4
Isolando
, concluímos