Sejam a e b números reais distintos. Mostre que, para todo n \in \mathbb{N}, vale a igualdade:
b^{n}+a b^{n-1}+a^{2} b^{n-2}+\cdots+a^{n-1} b+a^{n}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dadas duas constantes reais distintas a e b, para todo n\in\mathbb{N} vale
b^{n}+a b^{n-1}+a^{2} b^{n-2}+\cdots+a^{n-1} b+a^{n} =\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}.
O conteúdo principal é a soma de uma progressão geométrica ou, equivalentemente, usar soma telescópica.

Passo 2

Denominemos
S = b^{n}+a b^{n-1}+a^{2} b^{n-2}+\cdots+a^{n-1} b+a^{n}.
Como b\neq a, podemos multiplicar ambos os lados por b-a sem perder a equivalência.

Passo 3

Calculemos
(b - a)\,S = (b - a)\bigl(b^{n}+a b^{n-1}+\cdots+a^{n}\bigr).
Expandindo, obtemos
(b - a)\,S = \bigl(b^{n+1}-a\,b^{n}\bigr) + \bigl(a\,b^{n}-a^{2}b^{n-1}\bigr) + \cdots + \bigl(a^{n}b - a^{n+1}\bigr).
Note que nesta soma cada termo interior cancela com o próximo:
-b^{n}a + a\,b^{n} = 0,\quad -a^{2}b^{n-1}+a^{2}b^{n-1}=0,\;\ldots
Sobram apenas o primeiro e o último termos, isto é,
(b - a)\,S = b^{n+1} - a^{n+1}.

Passo 4

Isolando S, concluímos
S = \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}.

Resposta

b^{n}+a b^{n-1}+a^{2} b^{n-2}+\cdots+a^{n-1} b+a^{n} =\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}.

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