(G1 - ifce 2019) O triângulo A B C é retângulo em A e tem catetos medindo 12 cm e 24 cm . Os pontos D, E e F são tomados em A B, B C e A C, respectivamente, de tal forma que A D E F é um quadrado. A área desse quadrado, em \mathrm{cm}^{2}, vale
a) 25 .
b) 49 .
c) 36 .
d) 64 .
e) 81.

Passo 1

Resumindo, temos um triângulo retângulo em A com catetos AB=12 cm e AC=24 cm. Queremos determinar a área do quadrado ADEF, cujos vértices D, E e F estão, respectivamente, em AB, BC e AC. Para isso, vamos usar geometria analítica: atribuir coordenadas aos vértices e escrever a equação da reta BC.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas com
A=(0,0),\quad B=(12,0),\quad C=(0,24).
Seja s o lado do quadrado. Então D fica em (s,0) e F em (0,s), pois AD=AF=s.

Passo 3

O quarto vértice E do quadrado, cuja aresta é paralela aos eixos, terá coordenada (s,s). Para que E pertença a BC, basta que (s,s) satisfaça a equação da reta que liga B a C.

Passo 4

A reta BC passa por B=(12,0) e C=(0,24), logo em forma explícita
y = 24 - 2x.
Impondo que E=(s,s) esteja nessa reta, temos
s = 24 - 2s.

Passo 5

Resolvendo
s = 24 - 2s \quad\Longrightarrow\quad 3s = 24 \quad\Longrightarrow\quad s = 8.
Assim, a área do quadrado é
s^2 = 8^2 = 64.

Resposta

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